Тема 33. Силовские подгруппы
Краеугольным камнем теории конечных групп является известная теорема норвежского математика Л. Силова о максимальных p-подгруппах конечной группы, называемых силовскими подгруппами. Цель курсовой работы – изучить основные свойства силовских подгрупп конечных групп. Рекомендуется следующий план работы.
1 Изучить такие основополагающие понятия теории групп, как перестановка множества и группа перестановок (/1/, с. 146-150, 301-302; /2/, с. 106-108; /3/, с. 9-45, 59-77).
2Изучить действие групп на множествах, доказать основные свойства орбит и стационарных подгрупп точек, рассмотреть примеры действий групп на множествах (/1/, с. 303-310; /3/, с. 81-94).
3Доказать теорему Силова о максимальных p-подгруппах конечной группы (/1/, с. 332-335; /2/, с. 89-92).
4Рассмотреть приложения теоремы Силова и примеры силовских подгрупп (/1/, с. 336-338; /2/, с. 92-96).
Разобрать все примеры из указанных выше литературных источников и решить задачи 1-5 из упражнения на стр. 338-339 в /1/ и упражнения 1-3 на стр. 92 в /2/, а также задачи 1.3.3, 1.3.6, 1.3.10, 1.3.18-1.3.20 из главы 1 части 3 книги /4/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.
2Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука,
1972.
3Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. –
М.: Наука, 1985.
4Сборник задач по алгебре (под ред. Кострикина А.И.). – М.: Наука,
1987.
- 1 АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
- Тема 1. Алгебра бинарных отношений и отображений
- Тема 2. Отображения и фактор-множества
- Тема 10. Основная теорема алгебры
- Тема 18. Замыкания и соответствия Галуа
- Тема 19. Функция Мёбиуса и её свойства
- Тема 28. Греко-китайская теорема об остатках
- Тема 33. Силовские подгруппы
- 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
- Тема 34. Логическая игра
- Тема 35. Неразрешимость логики первого порядка
- 3 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
- Тема 47. Эйлеровы графы
- Тема 48. Гамильтоновы графы
- Тема 55. Раскраски графов
- Тема 61. Теорема Пойа и перечисление графов
- Тема 62. Графы на двумерных поверхностях
- Тема 68. Логика на словах
- Тема 75. Элементы теории конечных автоматов
- Тема 82. Модулярные и дистрибутивные решетки
- Тема 83. Булевы алгебры
- 4 РАЗЛИЧНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
- Тема 86. Элементы линейного программирования
- Тема 95. Барицентрическое исчисление
- Приложение А