Реализация имитационных моделей на эвм

Поиск решений по имитационным моделям осуществляется осуществляется с помощью методов экспериментальной оптимизации на ЭВМ, являющихся особой разновидностью численных методов оптимизации. При этом разработчик модели сталкивается с необходимостью разработки не только собственно имитационного алгоритма, но и с разработкой специфических именно для этого алгоритма вспомогательных элементов – моделей входов, выхода, обратной связи (рис. 4.1.).

Следует отметить, что в программном обеспечении одновременных ЭВМ присутствуют пакеты прикладных программ (в первую очередь по разделу «Математическая статистика»), которые можно использовать при разработке тех или иных вспомогательных элементов конкретной имитационной модели. В связи с этим остановимся более подробно на задачах, ими решаемых.

Модели случайных входов

Создавая стохастическую имитационную модель, всегда приходится решать, следует ли в модели использовать имеющиеся эмпирические значения входных стохастических факторов непосредственно или целесообразно использовать их теоретико-вероятностные или частотные распределения. Непосредственное использование имеющихся статистических данных предполагает запись в память ЭВМ и выборку их из памяти определенным образом, обеспечивающим «чистоту» статистического эксперимента. В общем случае применение теоретических частотных или вероятностных распределений с учетом требований к машинному времени и памяти более эффективно, чем использование табличных данных для получения значений случайных факторов, необходимых в работе с моделью. Кроме того, использование необработанных эмпирических данных означает, что имитируется только прошлое. Возможными будут считаться только те события, которые уже происходили.

В связи с этим на практике в большинстве случаев эмпирические данные обрабатываются для получения наиболее близкого к ним теоретического закона распределения данной случайной величины и дальнейшего воспроизведения этого закона в процессе моделирования.

Для введения в моделирующий алгоритм случайных факторов используются специальные модели имитации случайных величин и событий. Эти модели являются основополагающими в статистическом моделировании, так как практически все остальные действия сводятся к преобразованию полученных случайных чисел по соответствующим правилам. В качестве исходной последовательности для получения случайных чисел с любым законом распределения либо для моделирования случайных событий используются случайные числа, равномерно распределенные в интервале (0 – 1). Наиболее распространенным способом получения таких чисел является программный. К настоящему времени создано большое количество разнообразных программ получения случайных чисел. В программное обеспечение современных ЭВМ входят стандартные программы генерирования случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0 – 1).

Преобразование случайных чисел с равномерным законом распределения в случайные числа с заданным (в общем случае произвольным) законом распределения базируется на теореме: если случайная величина y_iимеет плотность распределенияf(y), то случайная величина

(4.1)

является равномерно распределенной в интервале (0-1).

Решение уравнения (4.1) относительно y_iдает возможность получить искомое случайное число (рис. 4.2).

0

Рис. 4.2. Получение случайных чисел решением интегрального уравнения

Точное решение интегрального уравнения (4.1) возможно только для ряда относительно простых законов распределения, например:

1. Равномерное распределение с параметрами и:

;

.

2. Показательное распределение с параметрами :

.

Но так как случайная величина (1-x_i) также имеет равномерное распределение в интервале (1 – 0), справедливо

.

Однако в большинстве практически важных случаях уравнение (4.1) относительно y_iточно не решается, поэтому на практике большое развитие получили приближенные методы.

Метод преобразования равномерно распределенных случайных чисел, базирующихся на центральной предельной теореме теории вероятности

Для получения случайных чисел, распределенных по нормальному закону, можно воспользоваться центральной теоремой теории вероятности, согласно которой сумма большого числа случайных чисел, имеющих равномерное распределение в интервале (0-1), дает распределение, асимптотически приближающееся к нормальному. Поэтому для получения нормального распределения следует суммировать случайные числа, равномерно распределенные в интервале (0-1), при этом математическое ожидание Ми среднеквадратическое отклонениеполучаемого закона при достаточно большом числе случайныхnбудут определяться следующими выражениями:

При n= 8 – 12 приближение к нормальному закону достаточно высокое для потребностей практики. Если необходимо смоделировать нормальный закон с параметрами математического ожиданияи среднеквадратического отклонения, то требуемые случайные числаy_kполучаются по формуле

,

где k– номер случайного числа с заданным нормальным законом распределения.

Методы преобразования равномерно распределенных чисел, базирующихся на аппроксимации экспериментальных законов распределения

Пусть на основе экспериментального частотного распределения (рис. 4.3, а) построена экспериментальная функция распределения (рис. 4.3, б), где h_j– частота попадания случайного фактораyвj-й интервал;y_j– значение случайного фактора, соответствующего крайней правой точкеj-го интервала;– величина интервалов;– накопленная частота попадания случайного фактораyв интервалах от 0 до.

Рис. 4.3. Получение случайных чисел на основе экспериментального

закона распределения

Для равных интервалов

, гдеj– номер интервала. (4.2)

Как видно из рис. 4.3, б, для получения случайного числа y_k с заданным законом распределения необходимо, получая случайные числаx_k, равномерно распределенные в интервале (0 – 1), проверять начиная сj= 1 неравенство

. (4.3)

Если неравенство не выполняется, jувеличивается на единицу. При выполнении неравенства случайное числоy_kполучается в соответствии с (4.2) и (4.3) по формуле

.

Если имеется возможность получить тем или иным способом аналитическую запись закона f(y), аппроксимирующего экспериментальное частотное распределение, можно использовать следующий прием.

Преобразуем распределение f(y)(рис. 4.4.,) таким образом, чтобы оно вписалось в единичный квадрат (рис. 4.4,б), для чего введем новую переменную

.

Рис. 4.4. Получение случайных чисел методом единичного квадрата

Проведя смещение и сжатие по оси координат и деля конкретное распределение f(z)наf_max, получим

.

Тогда, выбирая пару случайных чисел, равномерно распределенных в квадрате (1, 1), проверяем, лежит ли точка с координатами () под кривой распределенияf(z), т.е.

.

Если да, то значение случайной величины рассчитывается по формуле

.

В противном случае число отбрасывается и выбирается следующая пара чисел .

Аналогично вышеописанным способом могут быть построены процедуры формирования случайных значений дискретных величин. Например, необходимо получить случайные числа m, имеющие распределение Пуассона:

..

Для этого необходимо взять случайное число x_i и проверить справедливость неравенства

, (4.4)

где .

Если неравенство (4.4) не выполняется, то rувеличивается на единицу; при выполнении неравенства искомое случайное числоmпринимается равнымr (рис. 4.5)

Рис. 4.5. Принцип получения дискретных случайных чисел

Моделирование случайных событий

1. Пусть требуется смоделировать случайное событие А, наступающее с вероятностьюp. В качестве исходной для моделирования берется последовательность случайных чиселx_i, равномерно распределенных в интервале (0 –1).

Считается, что событие Асвершилось, если. Легко видеть, что вероятность события А равна

.

Противоположное событие состоит в том, что оно удовлетворяет неравенствуи его вероятность равна.

3. Моделирование полной группы событий , наступающих с вероятностямисоответственно

.

Получив случайное число x_i, проверяем условие

, (4.5)

где .

Выполнение условия (4.5) соответствует свершению события A_r.

Действительно,

.

Например, моделируются тори события А, Б, Вс вероятностямир_А=0,2,р_Б= 0,35,р_В=0,45 соответственно. Условия свершения событий:

– свершение событияА,

– свершение событияБ,

– свершение событияВ.

3. Моделирование дискретной случайной величины, принимающей конечное число возможных значений. Вероятности p_jкаждого дискретного значения должны быть заданы;j = 1, 2, …, m– число дискретных значений. Методом последовательного приближения подбирается такое числоr, чтобы

. (4.6)

Если неравенство (4.6) выполнено, то случайной величине присваивается дискретное значение, соответствующее вероятности p_r. Если рассматривать появлениеi-й дискретной величины как свершениеi-го события, то данный случай сводится к предыдущему.

4. Моделирование сложных случайных событий. Пусть некоторое событие определяется исходами событий AиB(иАиВ). События А и В являются независимыми между собой и имеют заданные вероятности наступленияp_Aиp_B. При этом возможны два варианта моделирования:

• сначала моделируется наступление события А, а затем наступление событияВ. Сравнивая исходы моделирования, устанавливают исход событияС;

• по формулам теории вероятности вычисляется вероятность наступления события С:и моделируется полная группа из двух событий:Сс вероятностьюp_CиСс вероятностью1- p_C.

Модель выхода – обработка реализации случайных величин

При обработке выходной информации стохастических имитационных моделей чаще всего решают следующие задачи:

• определение основных параметров полученной случайной выборки выходных данных (т.е. средних, дисперсии и т.д.);

• определение формы и параметров закона распределения выходных характеристик;

• определение статистической зависимости между входами и выходами модели и проверка существенности полученной связи.

Для решения этих задач привлекается один из основных разделов математической статистики – теория испытания статистических гипотез. Смысл проверки статистических гипотез состоит в том, чтобы по имеющимся данным (случайной выборке) принять наиболее обоснованное решение о виде или параметрах генеральной совокупности.

Статистические критерии – показатели, вычисляемые на основе фактических наблюдения и дающие основание для суждения и приемлемости некоторых гипотез. При суждении о параметрах генеральной совокупности по определенному статистическому критерию принимают заранее некоторую наибольшую вероятность ошибки исследователя . Эта вероятность называется уровнем значимости. В зависимости от важности рассматриваемого вопроса уровень значимости может принимать значения от 0,01 до 0.001 и даже выше. Дополнительная до 1 вероятностьназывается доверительной вероятностью.

В соответствии с уровнем значимости устанавливаются доверительные границы, в которых, судя по имеющимся статистическим данным, должен лежать искомый параметр генеральной совокупности. Эти границы (доверительные интервалы) будут тем уже, чем больше значений в имеющейся выборке и чем меньше доверительная вероятность. При этом считается, что все рассматриваемые данные имеют одинаковую точность измерений.

Определение выборочного среднего и выборочной дисперсии случайной выборкистатистических данных проводится в следующем порядке:

выборочное среднее случайных величин

,

где y_j –j- е значение случайной величиныy;m– объем статистических данных – число замеренных значений случайной величиныy;

выборочная дисперсия равна квадрату эмпирического стандарта S, являющегося аналога среднеквадратической ошибки при конечном числе статистических данных:

;

для заданной доверительной вероятности pпо таблицам математической статистики определяется значение критерия Стьюдента, зависящее от доверительной вероятностиpи объема имеющихся статистических данных (k=m-1);

определяются симметричные доверительные оценки выборочной средней, имеющие вид неравенства

,

где Y– математическое ожидание случайной величиныy.

Критерий Стьюдента используется для определения доверительных интервалов в случае небольшого количества статистических данных . Приmбольше 20 для определения доверительного интервала используется правило трех сигм:;

Доверительную оценку средней квадратической ошибки записывают в виде оценки относительного отклонения оцениваемого значенияот эмпирического стандартаS:

,

где значение доверительного коэффициента находится в зависимости от доверительной вероятностиpи числа имеющихся статистических данных(k = m - 1)по соответствующим таблицам.

Проверка гипотез о законе распределения выходных характеристикпроводится аналогично решению этой задачи для входных случайных величин. Для этого статистические данные группируются по интервалам таким образом, чтобы эти интервалы покрывали весь диапазон изменения исследуемого фактораy, длины интервалов были равны и чтобы количество данных в каждом интервале было достаточно большим (во всяком случае, не менее 5). Для каждого интервала () подсчитывается числоm_jрезультатов измерений попавших в этот интервал. После чего переходят к вычислению относительных частот h_jпопадания измеряемого параметра в интервал по формуле

.

Графическое построение полученного экспериментального распределения относительных частот позволяет подобрать наиболее близкий к нему по форме теоретический закон распределения, после чего определяются числовые значения параметров аппроксимирующей функции – теоретического закона распределения. Далее необходимо проверить гипотезу о соответствии выбранного теоретического закона распределения и распределения в генеральной совокупности с помощью критериев согласия, позволяющих на основании доверительных интервалов сделать вывод о ее опровержении или неопровержении.

Из всех критериев согласия наиболее часто применяется критерий (критерий Пирсона):

,

где – теоретическая частота попадания случайной величины в интервал– число равных интервалов, но которые разбивается диапазон изменения исследуемой случайной величины.

По соответствующим математико-статистическим таблицам находят при данном числе степеней свободы kи доверительной вероятностиpкритическое значение критерия. Гипотеза о соответствии экспериментального закона распределения теоретическому считается непротиворечивой опыту при условии.

При использовании критерия необходимо, чтобы объем экспериментальных данных был больше 50, а количество их в каждом интервале – более 5. В ряде случаев в качестве критериев согласия используются и другие статистические критерии, например критерий Колмогорского, Ястремского, критерийw₂. Более подробно с вопросами построения теоретических законов распределения и их проверки с помощью критериев согласия можно ознакомиться в литературе по математической статистике.

Для определения статистической зависимости между исследуемыми величинами и проверки полученной связииспользуют аппарат однофакторного и многофакторного регрессионного анализа. Эта задача эквивалентна решению задачи идентификации, где в качестве объекта рассматривается сама имитационная модель. В связи с тем, что при проведении экспериментов на ЭВМ неясно, какая из функций наилучшим образом описывает получающиеся данные, выбирают несколько таких функций, исходя из предположений о картине протекания исследуемого процесса:

,

где w– некоторая выходная характеристика модели;х – вектор входных параметров модели;f₁,…,f_S – различные математические функции, описывающие взаимосвязь выходаwсо входами;– векторы параметров для соответствующих функций.

После нахождения параметров необходимо оценить качества полученной модели путем получения доверительных оценок параметров и доверительной оценки отклонения теоретической зависимости от экспериментальных данных. Например, для линейной зависимости результативного признака от факторногохтеоретическую прямую можно записать в виде

,

где .

Значимость эмпирического коэффициента корреляции rпроверяется путем сравнения абсолютного значения коэффициента корреляции, умноженного на, с его критическими значениямипри заданной доверительной вероятностиp. Если, то случайные величины коррелированы между собой. Критические значениядля различного объема статистических измерений и различных доверительных вероятностейpприведены в соответствующей литературе по математической статистике.

Доверительными границами для b служат

,

а для –

,

где – среднее арифметическое величиныw;– эмпирические стандарты величинwиk; t = t(p,k)– значение критерия Стьюдента для заданной доверительной вероятностиpи числа степеней свободыk = m – 2.

Модель обратной связи – использование теории оптимального

планирования эксперимента

Для сокращения числа имитационных экспериментов (расчетов на ЭВМ) при сохранении заданной точности в последнее время находят все более широкое применение методы теории оптимального планирования эксперимента. Планирование эксперимента в задачах моделирования состоит в выборе логической структуры искусственного эксперимента на ЭВМ и позволяет обоснованно проводить выбор значений управляемых параметров для выполнения расчетов на модели.

В планировании экспериментов для описания результирующей характеристики (в нашем случае – критерия оптимальности) используют полиномиальные модели, аппроксимирующие реальный вид целевой функции:

.

Эта функция в планировании экспериментов называется функцией отклика или уравнением регрессии, пространство, в котором строится функция отклика, – факторным пространством (рис. 4.6.).

Коэффициенты функции отклика и т.п. можно интерпретировать как значения частных производных в точке, вокруг которой производится разложение в ряд неизвестной целевой функции.

Для поиска оптимума в области определения факторов выбирают произвольную точкуА₁.

Рис. 4.6. Функция отклика и факторное пространство

В окрестности точки А₁выделяют малую подобласть, в которой возможно описать функцию отклика полиномом первой степени (рис. 4.7). В этой подобласти осуществляют небольшую серию экспериментов (точкиI), необходимую для построения линейной модели:

.

Коэффициенты регрессии b_iиспользуются для определения направления градиента, следуя которому осуществляют дальнейшие опыты (точкиII в окрестности точкиА₂). Для каждой новой подобласти вновь определяют направление градиента, по которому следуют в дальнейших опытах до тех пор, пока не достигнут оптимума – областьМ.

Рис. 4.7. Планирование имитационных экспериментов при

оптимизации по градиенту

Значения коэффициентов регрессии определяют по формуле

,

где – значениеi-го фактора вm-м эксперименте;l_m– значение выходной характеристики вm-м эксперименте;n– общее число экспериментов в подобласти.

Информацию для проведения эксперимента записывают в матрице планирования эксперимента (табл. 4.1),называемой планом эксперимента.

Таблица 4.1. Матрица планирования эксперимента

Для получения коэффициентов регрессии b_iс высокой точностью и достоверностью к плану эксперимента предъявляется ряд требований, что приводит к формированию значенийпо специальным правилам.

Процедура выбора подобласти проведения эксперимента состоит из двух этапов: выбор основного уровня и выбор интервалов варьированияI_i. Основной уровень – центр подобласти проведения эксперимента – для первого эксперимента осуществляется эвристически на базе анализа априорной информации. В дальнейшем его величина определяется направлением градиента и шагом эксперимента.

Интервалом варьирования I_iфактораx_iназывается некоторое число, прибавление которого к основному уровню дает верхний, вычитание – нижний уровень фактора.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по кодированным осям и начало отсчета выбирают так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний –1, а основной – 0:

,– кодированное значение фактора.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Так как число уровней каждого фактора равно двум, то в теории планирования экспериментов рассматривается полный факторный эксперимент n². Для двух факторов план эксперимента и геометрическая интерпретация матрицы планирования 2²приведены на рис. 4.8..

Полный факторный эксперимент 2²будет иметь восемь опытов, а его геометрическая интерпретация представляет собой куб

Матрица полного факторного эксперимента строится следующим образом: в первои столбце знаки меняются поочередно, во втором – через два, в третьем – через четыре и т.д. по степени двойки. Однако полный факторный эксперимент содержит избыточную информацию для определения коэффициентов регрессии b_i, для расчета которых достаточно провести часть полного факторного эксперимента – дробный факторный эксперимент.

Реализуемая часть полного факторного эксперимента называется дробной репликой. Объем дробного факторного эксперимента определяется из следующих условий:

• число экспериментов должно быть не меньше числа неизвестных коэффициентов в уравнении регрессии;

• число экспериментов должно быть обязательно равно степени числа 2.

Рис. 4.8. План и графическая интерпретация эксперимента 2²

Так, для определения 11 коэффициентов уравнения линейной регрессии с 10 факторами требуется провести не менее 11 экспериментов. Ближайшее число по степени 2 – это число 16. Оно и определяет объем дробного факторного эксперимента. Так как 18 = 2⁴, а объем полного факторного эксперимента 2^11-7в силу того, что 2^11-7= 2⁴= 16.

Как видно из таблицы 4.2. применение дробного факторного эксперимента для случая 15 факторов уменьшается объем расчетов по определению направления градиента в 2048 раз по сравнению с полным факторным экспериментом.

Таблица 4.2. Дробные реплики

Увеличение числа факторов в еще большей степени способствует повышению вычислительной эффективности этого метода.

Естественно. Что далеко не любые эксперименты из плана полного факторного эксперимента могут быть использованы при формировании плана дробного факторного эксперимента. Совокупность экспериментов в дробной реплике должна удовлетворять следующим свойствам:

1. Симметричность относительно центра эксперимента – алгебраическая сумма экспериментов-столбцов каждого фактора должна быть равна нулю, кроме столбца, отвечающего свободному члену b₀, т.е

,

где m–номер точки опыта;i– номер фактора;M–число различных точек плана матрицы дробной реплики.

2. Нормировка – сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу точек матрицы, т.е.

.

3. Ортогональность – сумма построчных произведений плана матрицы любых двух столбцов равна нулю, т.е.

,

где j – комбинация факторов вm-й точке.

Ортогональность матрицы позволяет оценить все коэффициенты регрессии независимо друг от друга, т.е. значение любого коэффициента не зависит от того, какие значения имеют другие коэффициенты.

Если план дробной реплики отвечает указанным свойствам, то математическая модель, полученная в результате эксперимента, способна предсказать значения искомого показателя ес одинаковой точностью в любых направлениях на равных расстояниях от центра эксперимента или плана матрицы (свойство рототабельности).

После обработки данных эксперимента и вычисления коэффициентов регрессии b_iопределяют следующие значения основного уровня по всем факторам. В основу алгоритма определения улучшенных значений основного уровня могут быть положены симплекс-метод, градиентный и др. Например, для движения по градиенту методом Бокса-Вильсона рекомендуется (см. рис. 4.7):

1. рассчитать составляющие градиента ;

2. подобрать масштаб для шага изменения основного уровня k;

3. определить новые значения основных уровней по формуле

;

4. рассчитать значения целевой функции для точки с координатами и сравнить его с наилучшим значением из предыдущей серии экспериментов;

5. если шаг выбран удачно, т.е. получено улучшение, продолжать увеличивать значение основных уровней факторов на величину ; если произошло ухудшение, то следует уменьшить масштаб;

6. значение точки, в которой достигнуто максимальное улучшение значения целевой функции, принять за центр новой подобласти проведения эксперимента; относительно этой точки вновь повторить вышеописанную процедуру и искать направление градиента.

7. Если значения коэффициентов регрессии b_iблизки к нулю, то это означает, что недалеко находится область оптимума. Для отыскания оптимального решения в этом случае необходимо переходить на полиномиальные уравнения более высокого порядка, например, использовать полином второй степени.

Языки имитационного моделирования

Методы имитационного моделирования позволяют сочетать формальные математические методы исследования с интуицией и опытом специалистов-производственников. Для того чтобы осуществить также сочетание наиболее эффективно, необходимо максимально сократить по времени, облегчить и упростить общение специалистов с машиной. Нужно, чтобы указанные специалисты могли при формировании модели и воспроизведении на ЭВМ процесса оперировать привычными понятиями и представлениями, а также получали бы из ЭВМ информацию в удобной для восприятия и анализа форме. В связи с этим появилась настоящая необходимость в разработке программных средств, специально приспособленных к задаче написания программ моделирования.

Это привело к тому, что параллельно с универсальными алгоритмическими языками (Алгол, Кобол, Фортран, ПЛ/1, Бэйсик и т.п.) разрабатывалось множество специализированных языков для эффективного описания тех или иных типов моделей, в первую очередь в качестве программного обеспечения имитационного подхода к изучению того или иного класса объектов. Выбрав для решения своей задачи конкретный язык, исследователь получает в распоряжение тщательно разработанную систему понятий, представляющих ему основу для формализации исследуемой проблемы.

Преимуществами специализированных языков моделирования являются:

краткость, точность выражения понятий, характеризующих имитируемые процессы, удобные средства формализации и воспроизведения динамических свойств моделируемого объекта;

возможность заранее строить для пользователей стандартные программы, меньшие затраты времени на программирование;

более эффектное выявление ошибок в процессе отладки программы;

организация данных, обеспечивающая простое и эффективное моделирование, в том числе автоматическое формирование определенных типов данных; удобство накопления и представления выходных данных;

возможность имитации стохастических систем, т.е. наличие процедур генерирования и анализа случайных величин и временных рядов.

Языки имитационного моделирования различаются по принципам построения поискового управляющего алгоритма. Поисковые схемы в них могут быть ориентированы на описание выполнения событий (Симскрипт, Симпак) работ (GSP,GSL), процессов (GPSS, Симула). Каждая из поисковых схем, а соответственно и языки, ее реализующие, свои преимущества. Для любой из них существуют ситуации, в которых какая-либо одна эффективнее остальных, и ситуации, в которых она работает хуже. Тому кто желает ближе познакомиться с языками имитационного моделирования, надо обратиться к соответствующей литературе.

Одним из направлений создания специализированных языков моделирования служит создание универсальных комплексов программ, способных настраиваться на любой объект моделирования из заданного класса. В состав комплекса помимо собственно программ имитации входят программы автоматического преобразования элементов реальной системы и схем сопряжения к стандартной форме, а также ряд вспомогательных и обслуживающих программ. За человеком остается лишь неформальная часть действий: постановка задачи и интерпретация результатов моделирования. Все остальные работы (описание объекта моделирования в требуемой форме при помощи заранее определенных математических схем, построение моделирующего алгоритма, его программирование, организация вычислительного процесса на ЭВМ и т.д.) автоматизируются и выполняются при помощи специальных, заблаговременно заготовленных программ. Примером такого комплекса программ является пакет под названием «Универсальная автоматизированная имитационная модель» (УАИМ). С широким внедрением УАИМ в практику появляется возможность решения задач методом имитационного моделирования для человека, знающего свою узкую специальность и способного грамотно сформулировать задачу, но не имеющего специальной подготовки по программированию, методам решения задач на ЭВМ, а также подготовки в области математического аппарата исследования систем(теории массового обслуживания, теории автоматов, теории дифференциальных уравнений и т.д.).