logo search
Lection

4.3. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов

Рассматривается следующая задача: на вход системы (устройства, преобразователя) S подается «входной сигнал», имеющий характер случайного процесса Х(t). Система преобразовывает его в «выходной сигнал» Y(t):

.

Формально преобразование случайного процесса Х(t) в Y(t) может быть описано с помощью так называемого оператора системы Аt:

Y(t)=At(Х(t)).

Индекс t показывает, что данный оператор осуществляет преобразование по времени. Возможны следующие постановки задачи о преобразовании случайного процесса.

  1. Известны законы распределения или общие характеристики случайного процесса Х(t) на входе в систему S, задан оператор Аt системы S, требуется определить закон распределения или общие характеристики случайного процесса Y(t) на выходе системы S.

  2. Известны законы распределения (общие характеристики) случайного процесса Х(t) и требования к случайному процессу Y(t); надо определить вид оператора Аt системы S, наилучшим образом удовлетворяющего заданным требованиям к Y(t).

  3. Известны законы распределения (общие характеристики) случайного процесса Y(t) и задан оператор Аt системы S; требуется определить законы распределения или общие характеристики случайного процесса Х(t).

П ринята следующая классификация операторов Аt системы S:

Операторы системы

Линейные L Нелинейные N

Линейные однородные L0 Линейные неоднородные Lн

  1. Рассмотрим воздействие линейной неоднородной системы

Lн(...)=L0(…)+φ(t)

на случайный процесс Х(t), имеющий следующее каноническое разложение:

.

Получаем:

введем обозначения

тогда каноническое разложение Y(t) приобретает вид:

.

Математическое ожидание случайного процессаY(t):

корреляционная функция случайного процесса Y(t):

следовательно,

.

С другой стороны

Дисперсия случайного процесса Y(t):

В заключении этого пункта отметим, что операторы дифференцирования и интегрирования случайных процессов являются линейными однородными.

2. Рассматривается квадратичное преобразование:

Y(t)=(X(t))2,

Vk-центрированные случайные величины, имеющие симметричное относительно нуля распределение; любые четыре из них независимы в совокупности. Тогда

Введем неслучайные функции

и случайные величины

тогда случайный процесс Y(t) приобретает вид

Получено каноническое разложение случайного процесса Y(t). Корреляционная функция Y(t):

Дисперсия: