5.2. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве

Предположим, что нам заданы декартова прямоугольная система координат Oxyz в пространстве и некоторая поверхность S. Рассмотрим некоторое уравнение, связывающее три переменные величины х, у и z:

Ф(х,у,z) = 0. (5.9)

Определение. Уравнение (5.9) называется уравнением поверхности S (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х, у и z любой точки, лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют координаты х, у и z ни одной точки, не лежащей на поверхности S.

С точки зрения этого определения поверхность S представляет собой (в заданной системе координат) геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (5.9).

Если (в заданной системе координат) рассматриваемое уравнение (5.9) является уравнением поверхности S, то мы будем говорить, что это уравнение определяет поверхность S.

Конечно, не всякое уравнение с тремя переменными вида (5.9) определяет геометрический образ, отвечающий нашему привычному представлению о поверхности (и вообще определяет реальный геометрический образ: рассмотрите уравнение x² + y² + z²+ 1 = 0). Чтобы уравнение вида (5.9) определяло геометрический образ, отвечающий нашему представлению о поверхности, следует подчинить функцию Ф(х,у,z) некоторым ограничениям (например, требованию однозначной разрешимости функционального уравнения (5.9) относительно одной из переменных).

Аналогично определяется уравнение поверхности S в любой другой (не обязательно декартовой прямоугольной) системе координат. Если (5.9) представляет собой уравнение поверхности S в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz, то, чтобы получить уравнение той же поверхности S относительно любой другой системы координат, достаточно подставить в (5.9) вместо х, у и z их выражение через новые координаты.

Использование для определения некоторых поверхностей недекартовых систем координат объясняется тем, что уравнение поверхности имеет при этом более простой вид.

Легко убедиться в том, что в декартовой прямоугольной системе Oxyz уравнение сферы радиуса R>0 с центром в точке М₀(а, b, с) имеет вид (сфера определяется как геометрическое место точек М(х, у, z), расстояние каждой из которых от точки М₀(а, b, с) равно R )

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R². (5.10)

В самом деле, точка М(х, у, z) лежит на указанной сфере тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между точками М(х, у, z) и М₀(а, b, с)

(х - а)² + (у- b)² + (z- с)²

равен R². В случае, когда центром М₀ сферы служит начало коор­динат (т.е. а = 0, b = 0, с = 0), уравнение (5.10) принимает более простой вид:

x² + y² + z² = R². (5.11)

Линию в пространстве естественно рассматривать как пересечение двух поверхностей, т.е. как геометрическое место точек, находящихся одновременно на двух поверхностях.

Если Ф₁(х, у, z) = 0 и Ф₂(х, у, z)=0 суть уравнения двух по­верхностей, пересечением которых является данная линия L, то координаты любой точки, лежащей на линии L, удовлетворя­ют обоим указанным уравнениям; или обоим указанным уравне­ниям не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежа­щей на линии L.

Таким образом, два уравнения

Ф₁(х,у,z) = 0, Ф₂(х,у,z) = 0 (5.12)

совместно определяют линию L, т.е. являются уравнениями этой линии.

Разумеется, данную линию L можно представить двумя уравне­ниями бесчисленным множеством способов: вместо данных двух поверхностей можно взять любую пару поверхностей, пересе­кающихся по той же линии L. Аналитически это означает, что вме­сто системы (5.12) можно взять любую эквивалентную систему.

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система ко­ординат Oxyz.

Определение. Поверхность S называется цилиндричес­кой поверхностью с образующей; параллельной оси Oz, если она обладает следующим свойством: какова бы ни была лежащая на этой поверхности точка М₀(х₀, y₀, z₀), прямая линия, проходящая через эту точку и параллельная оси Oz, целиком лежит на поверх­ности S.

Любую целиком лежащую на цилиндрической поверхности S прямую называют образующей этой поверхности.

Совершенно аналогично определяются цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям Ох или Оу.

Определение. Поверхность S называется конической с вершиной в начале координат О, если она обладает следующим свойством: какова бы ни была лежащая на этой поверхности и отлич­ная от начала координат точка М₀(х₀, y_о, z₀), прямая линия, прохо­дящая через точку М₀ и через начало координат О, целиком лежит на поверхности S.

Постараемся выяснить, какими уравнениями определяются цилиндрические и конические поверхности.

Для определенности будем рассматривать цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Докажем, что всякое уравнение вида

F(x,y) = 0, (5.13)

связывающее две переменные х и у и не содержащее z, определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz.

Пусть M₀(x₀, у₀, z₀) ^— любая точка, лежащая на поверхности S, определяемой уравнением (5.13). Тогда координаты этой точ­ки должны удовлетворять уравнению (5.13), т.е. справедливо ра­венство

F(x_o,y₀) = 0. (5.14)

Достаточно доказать, что любая точка М прямой, проходя­щей через M_о и параллельной оси Oz, также лежит на поверхности S, т.е. имеет координаты, удовлетворяющие уравнению (5.13).

Какова бы ни была точка М прямой, проходящей через М₀ (x_о, y_о, z_о) и параллельной оси Oz, ее абсцисса и ордината те же, что и у точки M₀, т.е. равны соответственно х₀ и у₀, а аппликата z имеет какое угодно значение. Но в уравнение (5.13) входят только абсцисса и ордината, а они в силу равенства (5.14) удовлетворяют этому уравнению.

Тем самым доказано, что S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Oz.

Заметим, что на координатной плоскости Оху уравнения (5.13) определяет плоскую линию, которую обычно называют направляющей рассматриваемой цилиндрической поверхности. В пространстве эта линия определяется двумя уравнениями:

F(x,y) = 0, z = 0,

первое из которых определяет рассматриваемую цилиндрическую поверхность, а второе — координатную плоскость Оху.

В качестве примера приведем уравнение х² + у² = r², определяющее круглый цилиндр с образующей, параллельной оси Oz, и с направляющей, представляющей собой лежащую в плоскости Оху окружность с центром в начале координат.

Перейдем к выяснению вида уравнения конической поверхности.

Определение. Функция F(x, у, z) называется однородной функцией степени п, если, каково бы ни было вещественное число λ, справедливо равенство

F(λx, λy, λz) = λⁿF(x, у, z). (5.15)

Докажем, что уравнение

F(x,y,z) = 0, (5.16)

в котором F(x, у, z) является однородной функцией любой степени п, определяет коническую поверхность.

Пусть М₀(х₀, y_о, z₀) — любая отличная от начала координат точка, лежащая на поверхности S, определяемой уравнением (5.16). Тогда справедливо равенство

F(x_o,y₀,z₀) = 0. (5.17)

Достаточно доказать, что, какова бы ни была точка М(х, у, z), лежащая на прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀, z₀) и через начало координат О, координаты х, у и z этой точки удовлетворяют уравнению (5.16).

Так как векторы и коллинеарны (как лежащие на одной прямой) и вектор является ненулевым, найдется вещественное число λ такое, что = λ · .

Поэтому на основании линейных свойств координат вектора можно утверждать, что координаты вектора равны соответствующим координатам вектора , умноженным на число λ, т.е.

х=λх₀, у=λу₀, z = λz₀.

Из последних равенств и из того, что F(x, у, z) (как однородная функция некоторой степени п) удовлетворяет соотношению (3.15), получим

F(x, у, z) = F(λx₀, λу₀, λz₀) = λⁿF(x₀, y₀, z₀),

а отсюда в силу равенства (5.17) окончательно будем иметь

F(x, у, z) = 0.

Доказательство того, что поверхность S, определяемая уравнением (5.16) с однородной функцией F(x, у, z), является конической, завершено.

Замечание. Прямые, целиком лежащие на конической поверхности, называются ее образующими и все образующие (как это видно из проведенного доказательства) проходят через начало координат О.

Пример. Простейшим примером конической поверхности может служить круглый конус, определяемый уравнением х² + у² - z² =0. Функция F(x, у, z) = х² + у² - z², задающая ее уравнение, является однородной функцией второго порядка.

Выше мы рассматривали линию в пространстве как пересе­чение двух поверхностей. Возможен и очень естествен с кинема­тической точки зрения и другой подход к понятию линии в про­странстве, основанный на рассмотрении этой линии как пути, пройденного материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону.

Как и для случая плоской линии, этот подход приводит к параметрическому представлению линии в простран­стве, заключающемуся в том, что координаты х, у и z любой точки данной линии задаются как непрерывные функции неко­торого параметра t (представляющего собой время). Итак, при таком подходе координаты х, у, z любой точки линии L задаются как три функции

определенные и непрерывные в некотором промежутке измене­ния параметра t.

Конечно, этот способ определения линии в пространстве эквивалентен определению ее в виде пересечения двух поверхнос­тей.

Для параметрического задания поверхности координаты лю­бой точки этой поверхности должны быть заданы как функции не одного, а двух параметров р и q. Убедимся в том, что три уравнения

определяют в пространстве некоторую поверхность.

Для этого предположим, что хотя бы одна пара из трех уравне­ний (5.19) может быть разрешена относительно параметров р и q. Допустим, например, что из первых двух уравнений (5.19) р и q могут быть выражены как функции х и у:

Подставляя эти значения р и q в третье уравнение (5.19), мы получим уравнение с тремя переменными

определяющее некоторую поверхность.

В качестве примера приведем параметрические уравнения сфе­ры радиуса r>0 с центром в начале координат:

Здесь параметры θ и φ представляют собой угловые сферические координаты (долготу и широту) точек поверхности сферы. Для того чтобы все точки сферы обходились один раз, следует ограничить область изменения параметров промежутка­ми

По аналогии с класси­фикацией плоских кривых устанавливают классифи­кацию поверхностей.

Определение . Поверхность называется алгебраической, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраическим уравнением с тремя переменными.

Определение. Всякая не алгебраическая поверхность называ­ется трансцендентной.

Определение. Алгебраическая поверхность называется поверхностью порядка п, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраичес­ким уравнением степени п с тремя переменными.

Для установления корректности этих определений необходимо доказать следующее утверждение.

Теорема 5.2 . Если поверхность в некоторой декартовой прямоугольной системы координат определяется алгебраическим уравнением степени п, то эта поверхность и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени п.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 5.1.

Замечание. Так же как и в случае плоской линии, вводится понятие распадающейся алгебраической поверхности.

Замечание. Пространственная линия называется алгебраической, если она может быть определена как пересечение двух алгебраических поверхностей.

Всякая не алгебраическая линия называется трансцендентной.

Для отыскания точек пересечения поверхностей или линий (или поверхностей и линий) следует рассмотреть совместно уравнения, определяющие указанные геометрические объекты. Решение полученной при этом системы и определит нам координаты всех точек пересечения. Если полученная система не имеет решений, то точек пересечения нет.

Заключительное замечание. Линии и поверхности выше второго порядка не входят в учебные курсы аналитической геометрии. В нашем курсе мы ограничимся изучением плоских линий и поверхностей первого и второго порядков.

ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ

Лекция 6

Эта глава посвящена изучению прямых линий на плоскости и плоскостей и прямых линий в пространстве.

Этими объектами исчерпываются все линейные образы (т.е. геометрические объекты, определяемые линейными уравнениями). Будут рассмотрены различные виды уравнений прямой и плоскости и их использовании для решения задач аналитической геометрии.