Разложение функции Грина

Функция Грина удовлетворяет уравнению

. (9.25)

Разлагаем функцию по базису

. (9.29)

Для нахождения коэффициента подставляем (9.29) в (9.25) и меняем порядок суммирования и дифференцирования

.

Учитываем уравнение Лиувилля (9.27)

,

получаем

.

Проектируем равенство на орт m, для этого умножаем слагаемые на , интегрируем поx от A до B, переставляем суммирование и интегрирование

.

Для правой стороны используем фильтрующее свойство дельта-функции, для левой стороны – ортонормированность (9.28)

.

Получаем

.

За счет символа Кронекера в сумме остается одно слагаемое

.

Заменяем и находим коэффициент

.

Результат подставляем в (9.29)

,

и при находимспектральное разложение функции Грина

, (9.30)

где

(9.31)

– спектральный образ функции Грина на частоте . По аналогии с (П.10.2) путем добавления к знаменателю получаемспектральный образ запаздывающей функции Грина

, . (9.31)

При вещественном из (9.30) получаемсоотношение взаимности

. (9.32)

Следовательно, комплексное сопряжение меняет местами причину и следствие, т. е. обращает течение времени. Этот вывод был ранее сделан при анализе матричных элементов оператора.

При вещественных иполучаем

(9.33)

– причина и следствие перестановочны, т. е. процесс обратимый.