ODEGuide-arpfshr6kt7

Устойчивость

Так как свободных параметров у этого класса разностных схем больше, появляется возможность при меньшем числе точек сеточного шаблона (т. е. при меньших K ) строить схемы более высокого порядка аппроксимации, чем в случае линейных многошаговых схем. В частности, приK= 1 (одношаговые, как методы Рунге–Кутты, схемы) имеем для схем второго порядка аппроксимации

a₁ = 1, a₀ = –1, b₀ = 1/2+c₀+c₁, b₁ = 1/2–c₀–c₁, (64)

c₀,c₁— произвольны. Если в дополнение к (64)

c₁=c₀– 1/6, (65)

то имеем однопараметрическое семейство 3-го порядка, а при

c₀=1/12, c₁=–1/12 (66)

— единственную на данном шаблоне схему 4-го порядка.

Для тестового уравнения с f=vимеем

v_t=f=v,v_tt=f_t=v=²v,…,

т. е. то же, что и в случае линейных многошаговых схем. В частности, при K= 1, как и в методах Рунге–Кутты, получаем геометрическую прогрессию:

vⁿ⁺¹ = qvⁿ, где q = –a₀/a₁ = [1 + (1/2 + c₀ + c₁) +

+ ²c₀] / [1 – (1/2 – c₀ – c₁) – ²c₁]. (67)

Из условия устойчивости |q(,c₀,c₁)| ≤ 1, требуя его выполнения для всех значений– ≤ Re() ≤ 0, в плоскости свободных параметров {c₀, c₁} можно получить все множествоA-устойчивых схем (заштриховано на рис.1.14; вертикальная штриховка — монотонные схемы, для которых, в случае действительных значений0 ≤ q ≤ 1, горизонтальная штриховка — устойчивые, но не монотонные схемы, для которых 1 ≤ q < 0).

Определяя из (67) |q(,c₀,c₁)|=–c₀/c₁, и приравнивая его нулю, получим, что множествоL-устойчивых схем расположено на прямой с₀=0 (исключая точку с₁=0).

Схемам 3-го порядка аппроксимации (65) на рис. 1.14 соответствует прямаяB₁B₂B₃, единственной схеме четвертого порядка (66) — точкаB₃, расположенная на границеA-устойчивых схем.

Точка Oс координатами

с₀= 0, с₁= 0 (68)

соответствует известной схеме «трапеций».

Рис. 1.14. Схемы Обрешкова в плоскости неопределённых коэффициентов ( K = 1 )

В целом данный класс схем заметно богаче класса линейных многошаговых методов. Он содержит целую полупрямую B₁B₂A-устойчивых схем третьего порядка аппроксимации, в том числеL-устойчивую схему — точкуB₂с координатами

c₀=0, c₁=–1/6, (69)

чего нет даже в методах Рунге–Кутты при K= 2.

Содержание