Дискретный спектр

В гильбертовом пространстве функций с областью определения частные решения уравнений (9.27), отличающихся числом, образуют базис с условием ортонормированности

. (9.28)

Доказательство:

Уравнение (9.27) записываем для и, и умножаем слева соответственно наи:

,

.

Равенства взаимно вычитаем. Вторые слагаемые сокращаются, третьи слагаемые переносим направо

.

Интегрируем по области определения . Для левой стороны получаем

.

Граничные условия (9.2) в точках A и B

,

,

где ;– вещественные, дают

,

.

В результате выполняется

.

При , получаем ортогональность функций базиса

, .

С учетом нормировки функций за счет постоянных множителей, получаем (9.28)

.