6.5. Метод Рунге-Кутта чисельного рішення звичайного диференціального рівняння.
У тій же ситуації, що й вище, тобто при пошуку числа по числу й дорівнює равенству (6.4.1), існує ще один широко застосовуваний метод - метод Рунге-Кутта, що, як правило, швидше приводить до числа , чим метод Ейлера. Сформулюємо дії по методу Рунге-Кутта:
1й крок. Фіксуємо точність, з якої потрібно знайти значення . Позначимо це число через . Пояснимо, що це означає, що числа, що відрізняються менше, ніж на , уважаються однаковими.
2й крок. Фіксуємо довільне й розділимо відрізок на рівних частин:
, де .
3й крок. Побудуємо послідовність чисел
де
і
у якій, нагадаємо, . Позначимо через .
4й крок. Замінимо на й повторимо кроки 2 і 3. Отримане число (тобто останнє з обчислюються на кроці 3) позначимо тепер через .
5й крок. Якщо виявиться, що числа й відрізняються друг від друга менше, ніж на , то число вважається знайденим і рівним . У противному випадку перепозначимо через і повернемося до кроку 4.
Можна довести, що коли функція з (7.4.1) має безперервні частки похідні, описана процес обов'язково кінцевий і відповідь перебуває дійсно з кожної наперед заданою точністю.
- Конспект лекцій Частина і з дисципліни “Числові методи і моделювання на еом”
- Лекция 1 числові методи алгебри. Особливості алгоритмування обчислювальних задач. Елементи теорії похибок обчислень та аналізу помилок округлення. Порядок виконання операцій
- 1.1. Про наближені обчислення
- 1.2. Лінійні заміни змінних
- 1.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- 2.1. Апроксимація функції по Фур'є.
- 2.1.1. Перетворення Фур'є
- 2.2. Зворотна матриця
- 3.1. Метод ділення відрізка навпіл для розв'язання рівнянь
- 3.2. Метод хорд для рішення рівнянь
- 3.3. Метод дотичних для розв'язання рівнянь
- 3.4. Методика рішення алгебраїчного рівняння
- Метод простих ітерацій
- Метод Зейделя
- Метод ітерацій для рішення рівнянь
- 4.4. Метод ітерацій для рішення систем нелінійних алгебраїчних і
- Лекция 5 звернення матриць. Подвійність у лінійному програмуванні. Одночасне рішення пари двоїстих задач лінійного програмування.
- Лекція 6
- 6.1. Чисельне диференціювання функції однієї змінної.
- 6.2. Чисельне інтегрування функції однієї змінної.
- 6. 3. Постановка задачі про чисельне рішення звичайного диференціального рівняння.
- 6.5. Метод Рунге-Кутта чисельного рішення звичайного диференціального рівняння.
- 6.6. Підхід до чисельного рішення системи звичайних диференціальних
- Лекция 7 методи розв’язку диференціальних рівнянь та їх систем. Розв'язання систем лінійних алгебричних рівнянь із допомогою жорданових виключень
- Лекция 8 чисельне диференціювання та інтегрування. Основна задача лінійного програмування. Дослідження її окремих випадків. Модифікований варіант жордановых винятків
- 8.1. Постановка основної задачі лінійного програмування (озлп)
- 8.2. Екстремальні задачі, що зводяться до озлп заміною змінних
- 8.3. Лінійна заміна змінних і її використання в дослідженні основної
- 8.4. Модифікований варіант жордановых виключень як спосіб організації лінійної заміни змінних
- Лекция 9 диференціювання інтерполяційних формул. Мова « n-мірних» точок. Геометрія задачі лінійного програмування. Опорне рішення й оптимальне рішення. Загальні установки симплекса-методу
- 9.1.Мова n-мірних точок.
- 9.2. Геометрія задачі лінійного програмування.
- Опорне рішення й оптимальне рішення. Загальні установки симплекс-методу
- Підготовка озлп до рішення симплекс-методом.
- Список рекомендованої літератури