logo search
ММФ лекции / Матем

Разложение функции Грина

В выражении (9.30) для дискретного спектра

заменяем

, ,

где – непрерывная величина. Сумма переходит в интеграл

, (9.40)

где

(9.41)

спектральный образ функции Грина на частоте . Для запаздывающей функции

, . (9.41а)

Разложение функции источника (9.35)

получает вид

, (9.42)

где –спектральный образ источника на частоте .

Подставляем (9.40) и (9.42) в интеграл Дюамеля (9.38а)

.

Меняем порядок интегрирований

,

учитываем ортонормированность (9.39)

,

и фильтрующее свойство дельта-функции, получаем

, (9.43)

где

. (9.44)

Спектральный образ решения на частоте равен произведению образов источника и функции Грина.

Плотность вероятности обнаружения частицы выражается в квантовой механике квадратом модуля волновой функции

.

Учитывая (9.41а)

и

,

,

получаем

.

Из (9.40)

при находим

.

При используем

,

тогда

.

В результате плотность вероятности обнаружения частицы в состоянии с параметром λ равна

.

Мнимая часть функции Грина частицы при пропорциональна плотность вероятности обнаружения частицы около точки x.