25. Теорема Коши для многосвязной области
Всякая неодносвязная область называется многосвязной. Рассмотрим, например, многосвязную область, граница которой состоит из замкнутой кривой (замкнутого контура) и замкнутых контуров лежащих внутри (рис. 5.10). На чертеже у нас
Границу многосвязной области обозначим через .
Интеграл по границе определим равенством
(Замкнутый контур при интегрировании обходится в положительном направлении, контура - в отрицательном).
Теорема 5.4. (Теорема Коши для многосвязной области).
Если комплексная функция аналитична в многосвязной области и на ее границе , то интеграл по границе области равен нулю, т.е.
Доказательство.
Рассмотрим случай (см. рис. 5.10). Проведем дополнительное построение: соединим отрезком кривые и отрезком и , отрезком и . Получим две односвязные области с границей и с границей
По следствию 1 из теоремы Коши для односвязных областей и имеем:
Складывая эти два равенства, получим
Запишем это равенство подробнее:
Учитывая, что
а также, что
получим т.е.
что и требовалось доказать.
Следствие.
При условиях теоремы
В самом деле по теореме имеем
Отсюда
что и требовалось доказать.
Если (рис. 5.11), то последняя формула имеет вид
Пример.
Вычислить интеграл , где лежит внутри . Построим окружность : (рис. 5.12). В области , ограниченной окружностью и кривой , подынтегральная функция аналитична. Она аналитична также на кривых и . Значит по следствию имеем
Но ранее нами доказано , что
Значит
для любой кривой , содержащей внутри себя точку .
- 1. Комплексные числа
- 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и основных операций над ними
- 3. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
- 4. Комплексной функции комплексного переменного
- 5. Действительная и мнимая части комплексной функции
- 6. Метризация комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел и их пределы
- 7. Предел комплексных функций
- 8.Непрерывность комплексных функций
- 9. Моногенность комплексных функций
- 10. Производная
- 11. Аналитические функции
- 12. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- 13. Конформные отображения
- 14. Линейная функция
- 15. Степенная функция с натуральным показателем
- 16. Показательная функция
- 17. Отображения, осуществляемые показательной функцией
- 18. Тригонометрические функции комплексного переменного
- 19. Гиперболические функции комплексного переменного
- 20. Логарифмическая функция комплексного переменного
- 21. Обратные тригонометрические функции
- 22. Интегрирование комплексных функций
- Если интегрирование по замкнутой кривой проводится в направлении противоположном рассматриваемому ("по часовой стрелке") , то для обозначения интеграла употребляют символы.
- 23. Теорема Коши для односвязной области
- 24. Первообразная. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для комплексных функций
- 25. Теорема Коши для многосвязной области
- 26. Формула Коши
- 27. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- 28. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
- 30. Числовые комплексные ряды
- 31. Функциональные комплексные ряды
- 32. Степенные комплексные ряды
- 33. Разложение аналитической функции в степенной ряд Тейлора