Решение неоднородного уравнения

Для получения решения уравнения

(9.26)

используем интеграл Дюамеля (9.6)

.

Подставляем функцию Грина (9.30)

,

меняем порядок суммирования и интегрирования

. (9.34)

Функцию источника Q(x) разлагаем по базису

, (9.35)

где –спектральный образ источника на частоте . Умножаем (9.35) на , интегрируем по интервалу, меняем порядок суммирования и интегрирования, в правой части используем ортонормированность

,

символ Кронекера снимает сумму

,

и находим спектральный образ источника на частоте

. (9.36)

Подставляем (9.35)

в (9.34)

и получаем

.

При получаем решение

, (9.37)

где

. (9.38)

Спектральный образ решения на частотеравен произведению образов источникаи функции Грина.

Формула (9.37) аналогична разложению функции в ряд Фурье. Выражение (9.38) аналогично теореме Фурье о свертке – образ свертки функций равен произведению образов этих функций. Для спектрального представления аналогом свертки является интеграл Дюамеля (9.6)

. (9.38а)

Неоднородное дифференциальное уравнение описывает действие преобразователя с аппаратной функцией в виде функции Грина , с входящим сигналом в виде возмущенияи с выходящим сигналом в виде решения уравнения.