ODEGuide-arpfshr6kt7

Примеры линейных многошаговых схем

Для случая K=2 с учетом (48), (50) имеем

vⁿ⁺²=₁vⁿ⁺¹+₀vⁿ, q²–₁q–₀=0.

Отсюда

, ,

где

, .

Рис. 1.13. Линейные многошаговые схемы в плоскости неопределённых коэффициентов ( K = 2 )

Условия |q₁(, a₀,b₀)|≤1, |q₂(,a₀,b₀)|≤1 ограничивают областьA-устойчивых схем. На рис. 1.13 эта область в плоскости свободных коэффициентов {a₀,b₀} заштрихована (четырехугольникA₁,A₂,A₃,A₄). Сплошная прямаяB₁B₂— множество схем третьего порядка аппроксимации — не пересекается с множествомA-устойчивых схем. ТочкаB₂на этой прямой — единственная в этом случае схема четвертого порядка аппроксимации (49). И в общем случае доказано (теорема Далквиста), чтолинейныхмногошаговыхA-устойчивыхсхемспорядкомаппроксимациивышевторогонесуществует.

Точка A_с координатами

a₀=1/3, b₀=0 (53)

— единственная в этом случае L-устойчивая схема (схема Кёртисса–Хиршфельдера). Область жестко-устойчивых схем, очевидно, содержится внутри себя множествоA-устойчивых схем. В частности, схема, соответствующая точкеA₆, является жестко-устойчивой.

Точка A₁с коэффициентами

a₀=b₀=0, (54)

т. е. одношаговая линейная схема (метод трапеций), из числа A-устойчивых схем является оптимальной в том смысле, что она среди другихA-устойчивых схем приK=2 ближе всего расположена и кL-устойчивой схеме (точкеA₆), и к схемам 3–го порядка (наиболее точная изA-устойчивых схем).

Отметим еще схему 3-го порядка точности, соответствующую точке B₁. Она является жестко-устойчивой и наиболее близка к множествуA-устойчивых схем. Для этой схемы

a₀=0, b₀= –1/12. (55)

Явным схемам на рис. 1.13 соответствует штриховая прямая. В частности, точкаA₅с коэффициентами

a₀ = 0, b₀ = –1/2 (56)

— явная схема Адамса. Все явные схемы, как видно, не являются A-устойчивыми. А в целом, семейство линейных многошаговых схем существенно беднее схем типа Рунге–Кутты.

Содержание