Решение задачи №2
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на данном отрезкемогут достигаться в критических точках функции (т.е. в точках, в которыхилине существует) или на концах отрезка. Порядок действий таков:
проверяем, что заданная функция на данном отрезке является непрерывной;
ищем производную заданной функции (там, где она существует);
находим критические точки функции и выбираем из них те, которые принадлежат интервалу;
вычисляем значения функции в критических точках внутри отрезка и значения функции на концах отрезка; сравнивая полученные значения, находим наибольшее и наименьшее значения функции на .
Рассмотрим функцию на отрезке.
Заданная функция является многочленом, а многочлен имеет производную в каждой точке прямой. По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке .
Вычисляем производную функции:.
Находим критические точки: . Данному отрезкупринадлежит только точка .
Вычисляем значение функции в точке и значения функции на концах заданного отрезка. Имеем:
,,.
Сравнивая эти значения, заключаем, что наименьшее значение функции достигается в точке и оно равно, а наибольшее значение функции достигается в точкеи оно равно 27.
Рассмотрим функцию на отрезке.
Заданная функция является дробно-рациональной функцией, которая дифференцируема во всех точках, в которых знаменатель неравен нулю. Знаменатель обращается в нуль в точке , которая не принадлежит отрезку. По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке.
Вычисляем производную функции: .
Так как , то критических точек нет.
наибольшее и наименьшее значения функции достигаются в граничных точках отрезка: ;.
- Теория пределов и дифференциальное исчисление
- Раздел 2. Применение производных к исследованию функций
- Часть 2: производная и ее применение к исследованию функций Лекция 7
- Часть 2: производная и ее применение к исследованию функций Лекция 8
- Часть 2: производная и ее применение к исследованию функций Лекция 9
- Часть 2: производная и ее применение к исследованию функций Лекция 10
- Часть 2: производная и ее применение к исследованию функций Лекция 11
- Образец индивидуального задания
- Решение задачи №2
- Решение задачи №3
- Решение задачи №4
- Решение задачи №5
- Решение задачи №6
- Решение задачи №7
- Решение задачи №8
- Решение задачи №9