Решение задачи №2

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на данном отрезкемогут достигаться в критических точках функции (т.е. в точках, в которыхилине существует) или на концах отрезка. Порядок действий таков:

• проверяем, что заданная функция на данном отрезке является непрерывной;

• ищем производную заданной функции (там, где она существует);

• находим критические точки функции и выбираем из них те, которые принадлежат интервалу;

• вычисляем значения функции в критических точках внутри отрезка и значения функции на концах отрезка; сравнивая полученные значения, находим наибольшее и наименьшее значения функции на .

1. Рассмотрим функцию на отрезке.

• Заданная функция является многочленом, а многочлен имеет производную в каждой точке прямой. По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке .

• Вычисляем производную функции:.

• Находим критические точки: . Данному отрезкупринадлежит только точка .

• Вычисляем значение функции в точке и значения функции на концах заданного отрезка. Имеем:

,,.

Сравнивая эти значения, заключаем, что наименьшее значение функции достигается в точке и оно равно, а наибольшее значение функции достигается в точкеи оно равно 27.

2. Рассмотрим функцию на отрезке.

• Заданная функция является дробно-рациональной функцией, которая дифференцируема во всех точках, в которых знаменатель неравен нулю. Знаменатель обращается в нуль в точке , которая не принадлежит отрезку. По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке.

• Вычисляем производную функции: .

• Так как , то критических точек нет.

• наибольшее и наименьшее значения функции достигаются в граничных точках отрезка: ;.