Часть 2: производная и ее применение к исследованию функций Лекция 11

Функции двух переменных

В этой лекции мы дадим краткий обзор основных понятий математического анализа, связанных с функциями двух переменных. Почти все, что будет изложено, без существенных изменений может быть перенесено на функции n переменных.

Пусть дана функция двух независимых переменныхx иy, определенная в некоторой области¹из. Зафиксируем точкуи пусть {} – произвольная последовательность точек, строго стремящаяся к(это означает, чтои). Числоb(конечное или бесконечное) называется пределом функциипри, если для любой последовательности {}, строго стремящейся к, выполняется соотношение:. Тот факт, что числоbявляется пределом функциипри, обозначают так:. Все свойства 1–8, сформулированные для предела функции одной переменной (см. Часть 1, Свойства предела функции), остаются справедливыми и для функции двух переменных. Функцияназывается непрерывной в точке, если выполняется равенство:. Функцияназывается непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества. Все свойства непрерывности 1–6, сформулированные для функции одной переменной (см. Часть 1, Свойства непрерывных функций), также остаются справедливыми и для функции двух переменных.

Остановимся более подробно на теории дифференцирования функций двух переменных. Здесь основная идея такова. Для того, чтобы функцию двух переменных свести к функции одной переменной, одну из переменных (то есть xилиy) фиксируют (считают постоянной величиной), а производную вычисляют по другой переменной. Если зафиксирована переменнаяy(то есть), то производная по оставшейся переменнойxобозначаетсяилии называется частной производной функциипо переменнойx. Точно так же, если зафиксирована переменнаяx(то есть), то производная по оставшейся переменнойyобозначаетсяилии называется частной производной функциипо переменнойy.

Пример 35.Пусть. Найдем частные производные этой функции. Сначала зафиксируем переменнуюy, то есть пусть. Тогда в первом члене функцииzмножительявляется постоянным и может быть вынесен за знак производной. Точно так же в последнем члене множительявляется постоянным и также может быть вынесен за знак производной. Третий член является постоянной величиной и поэтому производная от него равна нулю. В итоге получаем:

.

Теперь зафиксируем переменную x, то есть пусть. Тогда в первом члене функцииzмножительявляется постоянным и может быть вынесен за знак производной. Точно так же в последнем члене множительявляется постоянным и также может быть вынесен за знак производной. Второй член является постоянной величиной и поэтому производная от него равна нулю. Получаем:

.

Пример 36.Вычислим частные производные функции. Пусть сначала. Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

.

Точно так же, считая, что , получаем:

Пример 37.Вычислим частные производные функции. При условиипоказатель данной функции постоянен, следовательно данную функцию нужно дифференцировать как степенную функцию (где; см. Вводная лекцию, Таблица производных элементарных функций). Имеем:

.

Наоборот, если , то основание исходной функции постоянно, следовательно данную функцию нужно дифференцировать как показательную функцию (где; см. Вводная лекцию, Таблица производных элементарных функций). Получаем:

.

Дадим теперь более формальное определение частных производных.

Определение 21.Частные производныеифункции, вычисленные в точке, определяются формулами:

Легко видеть, что эти формулы в точности соответствуют описанной выше процедуре нахождения частных производных. Правила дифференцирования 1–5, записанные нами для функции одного переменного (см. Вводная лекция, Правила дифференцирования), полностью сохраняются и для функций двух переменных. Видоизменяется только цепное правило. Перед тем, как сформулировать соответствующий результат, заметим, что после вычисления частных производных те переменные, которые перед дифференцированием были "заморожены", "размораживаются" и, таким образом, функции иопять можно рассматривать как функции двух переменных.

Теорема 27.(цепное правило для функции двух переменных). Предположим, что функцияимеет непрерывные частные производныеи.

1) Если внутрь функции вставить дифференцируемые функциии, то сложная функциябудет дифференцируема и ее производная вычисляется по формуле:

2) Если внутрь функции вставить функциии, обладающие частными производными, то сложная функциятакже будет иметь частные производные, вычисляемые по формулам:

Определение 22.Частные производные второго порядка функцииопределяются формулами:

Последние две производные называются смешанными частными производными.

Пример 38(продолжение примера 35). Имеем:

,

.

В примере 38 мы получили совпадение смешанных производных второго порядка. О закономерности такого результата говорит следующая

Теорема 28.Пусть функцияобладает непрерывными смешанными производнымии. Тогда=.

Определение 23.Пусть– единичный вектор (см. ЛЛААГ, определение 21) и пустьесть приращение функциив направлении вектора. Если существует конечный предел, то этот предел называется производной функциив направлении вектораи обозначается.

Сравнивая определение 23 с определением 21, видим, что при (то есть когда векторимеет направление осиOx), а при(то есть когда векторимеет направление осиOy).

Теорема 29.Пусть функцияопределена в области, содержащей точку, и имеет в этой области непрерывные частные производные. Тогда

где – вектор, называемый градиентом функциив точке.

Доказательство.Обозначим. Из определения 23 легко следует, что. Применяя формулу (34), получаем:

.

Следовательно, =.

Пример 39.Найдемив точкепо направлению вектора, если. Сначала вычисляем частные производные:. Следовательно,. То есть. Далее, пронормируем вектор, то есть запишем вектор, имеющий единичную длину и направление, совпадающее с направлением вектора(см. ЛЛААГ, пример 14):. По формуле (37):

.