Часть 2: производная и ее применение к исследованию функций Лекция 10

Интервалы выпуклости и точки перегиба

Определение 19.ПустьJ– некоторый интервал на действительной прямой. Говорят, что функциявыпукла вниз (соответственно, строго выпукла вниз) наJ, если, таких, что, выполняется неравенство:

Если неравенства в (32) заменить на противоположные, то получаем определение выпуклой вверх (соотв., строго выпуклой вверх) функции.

Теорема 22(критерий выпуклости). Пусть функциядважды дифференцируема на открытом интервале. Эта функция выпукла вниз (соотв., выпукла вверх) тогда и только тогда, когда(соотв.,).

Доказательство.Докажем теорему для функций, выпуклых вниз.

. Так как функциядифференцируема на, то по лемме 3 она непрерывна на. Поэтому на отрезкевыполнены все условия теоремы Лагранжа (см. теорему 15), из которой следует существование точки, такой, что. Аналогично рассуждая, получаем:. Учитывая, что, имеем:

. Из условий теоремы и из леммы 3 так же, как и ранее, следует, что функция на отрезкеудовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Поэтому существует точка, такая, что. Итак, мы получаем равенство:

.

Так как по условию , то правая часть этого равенства неположительна, следовательно , что в соответствии с определением 19 доказывает выпуклость вниз функции.

Перед рассмотрением обратного утверждения заметим, что если в начале полученного доказательства предположить, что , то проведенное рассуждение даст строгую выпуклость вниз функции.

Обратное утверждение теоремы докажем лишь при условии, что функция непрерывна на(без этого предположения доказательство значительно сложнее). Итак, пустьвыпукла вниз на, но существует точка, такая, что. Из непрерывности в точкеaфункцииследует, что существует такая-окрестность этой точки, что(докажите это от противного!). Поэтому из замечания, сделанного после доказательства первой части теоремы и примененного к выпуклым вверх функциям, получаем, что функциястрого выпукла вверх на интервале. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Пример 31.Рассмотрим функцию. Так как, то из теоремы 22 следует, что эта функция выпукла вниз на всей действительной прямой. Легко видеть, что на самом делестрого выпукла вниз на(докажите это!). При этом, однако,.

Пример 31 показывает, что в полном объеме аналог теоремы 22 не может быть сформулирован для строго выпуклых функций. Однако справедлива следующая теорема, доказательство которой дословно повторяет первую часть доказательства теоремы 22.

Теорема 23.Пусть функциядважды дифференцируема на открытом интервале. Если, (соотв.,), тострого выпукла вниз (соотв., строго выпукла вверх) на.

Для запоминания теорем 22 и 23 существует мнемоническое "правило дождя":

Следующая теорема, доказательство которой подобно доказательству теоремы 22 и поэтому нами опускается, дает характеризацию интервалов выпуклости в терминах касательных.

Теорема 24.Пусть функциядважды дифференцируема на открытом интервале. Она выпукла вниз (соотв., выпукла вверх) на этом интервале тогда и только тогда, когдаграфик функциилежит выше (соотв, ниже) касательной к этому графику, проведенной в точке.



Теорема 25(необходимое условие точки перегиба). Если функциядважды дифференцируема в окрестности точкии эта точка является точкой перегиба графика данной функции, то.

Доказательство.Предположим для определенности, что слева от точкиaлежит интервал выпуклости вниз функции, а справа – интервал выпуклости вверх. Используя теорему 22, заключаем, чтослева отaисправа отa. Применяя к функциидостаточный признак экстремума (см. теорему 18), заключаем, что в точкеэта функция имеет локальный максимум. По теореме Ферма (теорема 12).

Теорема 26(достаточные условия точки перегиба). Пусть в точкефункцияимеет касательную, а в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки) – дважды дифференцируема. Если при переходе через точкувторая производнаяменяет знак, то– точка перегиба графика функции.

Доказательствонемедленно следует из теоремы 22 и определения 20.

Пример 33(продолжение примеров 22 и 27). Имеем:

.

Пример 34(продолжение примеров 23 и 28). Имеем:

.

Далее: . Получили три точки, подозрительные на перегиб.

Читателю предлагается самостоятельно исследовать на выпуклость функции из примеров 24 (см. также пример 29) и 25 (см. также пример 30).