Решение задачи №9

Для того, чтобы определить локальные экстремумы функции двух независимых переменных, нужно выполнить следующие вычисления.

• Определить стационарные точки (в которых функция может достигать экстремума), для чего надо решить систему уравнений .

• Найти вторые частные производные , ,.

• Вычислить значения вторых частных производных в выбранной стационарной точке, а полученные числа обозначить соответственно через A,BиC.

• Составить выражение . При этом:

а) если , то экстремум в стационарной точке есть (приэто будет минимум, а при– максимум);

б) если , то экстремума в рассматриваемой стационарной точке нет;

в) если , то имеет место более сложный случай, требующий привлечения частных производных порядка выше второго (этот случай выходит за рамки нашей программы).

1) .

• Прежде всего, определяем и:,. Составляем систему уравнений:, которая в нашем случае запишется так:

.

Решаем эту систему уравнений и получаем две пары решений:

• Находим частные производные второго порядка:

; ; .

• Исследуем первую стационарную точку. Имеем: ,,,. Следовательно, точкане является точкой экстремума.

• Исследуем вторую стационарную точку. Имеем: ,,,. Следовательно, точкаявляется точкой экстремума. Так как, то это точка минимума и.

1Под областью впонимается множество, содержащее вместе с каждой своей точкой некоторый круг с центром в данной точке.

0