Решение задачи №4

1. Функция есть несократимая дробно-рациональная функция (т.е. ее числитель и знаменатель не имеют одинаковых корней). По теореме 21 из лекции 9 каждый кореньее знаменателя порождает вертикальную асимптоту. Имеем:. Таким образом,— вертикальная асимптота графика функции .

По той же теореме 21 правосторонние и левосторонние наклонные асимптоты дробно-рациональной функции совпадают и вычисляются по формуле , гдеи(формулы (29)-(30) в лекции 9). Имеем:

,.

Таким образом, — наклонная асимптота графика функции(на самом деле эта асимптота является горизонтальной, так как прямаяпараллельная оси).

2) Эта задача решается точно так же, как предыдущая. Приравниваем знаменатель рассматриваемой функции к нулю:Имеем две вертикальные асимптоты:и.

Далее, ,. Таким образом, прямая(т.е. ось) является наклонной (горизонтальной) асимптотой функции.

3) Знаменатель функции не имеет корней, поэтому эта функция не имеет вертикальных асимптот.

Найдем наклонную асимптоту. Имеем:

,.

Получаем наклонную асимптоту .

4) Функция не является дробно-рациональной, поэтому нахождение ее вертикальных и наклонных асимптот следует производить непосредственно по формулам (28)–(30). Эта функция определена. Сначала будем искать вертикальные асимптоты. Имеем:

, следовательно, по теореме 19 прямаяявляется правосторонней вертикальной асимптотой;

, следовательно, по теореме 19 прямаяне является левосторонней вертикальной асимптотой.

Теперь будем искать наклонные (правосторонние и левосторонние) асимптоты. Имеем:

,, следовательно, по теореме 20 прямаяявляется наклонной (горизонтальной) правосторонней асимптотой;

,, следовательно, по теореме 20 прямаяявляется наклонной (горизонтальной) левосторонней асимптотой.