§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций

Функция , область определения которой симметрична относительно начала координат, называется четной (нечетной), если . Тогдаили. Так, например, функции инечетны, аичетны. Легко видеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций – четная функция, а произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Предлагаем доказать самостоятельно следующие свойства определенного интеграла:

а) если функция четна, то

; (7.1)

б) если функция нечетна, то

. (7.2)

Указание. Представить интеграл в виде суммы интегралов:и в первом из них выполнить замену.

Пусть четная функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке –L, L. Произведение будет нечетной функцией, и, поэтому, в силу (7.2)

.

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы:

. (7.3)

Так как – четная функция, то вследствие (7.1)

. (7.4)

Подобным же образом получим, что ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы:

(7.5)

где

. (7.6)