10.Циклические группы.
В теории групп группа (G,∙ ) называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a .
Св-ва: Все циклические группы абелевы.Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе — со сложением по модулю n (её также обозначают ), а каждая бесконечная — изоморфна Z, группе целых чисел по сложению.В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.Каждая подгруппа циклической группы циклична.У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция ЭйлераЕсли p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).Прямое произведение двух циклических групп порядков n и m циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.Например, Z12 изоморфна Z3 4 , но не изоморфна Z6 2.
Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа Zpn, где p — простое число, или Z .Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).Кольцо эндоморфизмов группы Zn изоморфно кольцу Zn. При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм Zn, который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, если и только если r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов Zn изоморфна . Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична. Доказательство. Пусть G — циклическая группа и H — подгруппа группы G. Если группа G тривиальна (состоит из одного элемента), то H=G и H циклична. Если H — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то H циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что G и H не являются тривиальными.
- 1.Отношение делимости в кольце целых чисел. Простые числа. Те-ма Евклида. Осн-я теорема арифм-ки.
- 2.Нод чисел, его свойства, алгоритм Евклида. Нок чисел.
- 3. Отношение сравнимости целых чисел по модулю данного натурального числа и его свойства. Классы вычетов по модулю m.
- 4. Вычеты и операции над ними, кольцо вычетов.
- 5. Кольцо вычетов. Сравнения в кольце вычетов, решение сравнения ax≡1(mod m).
- 7.Примитивные, обратимые классы. Случай, когда кольцо является полем. Функция Эйлера, ее свойства. Теорема Эйлера. Теорема Ферма.
- 8. Инъективное, сюръективное и биективное отображения множеств, примеры. Изоморфизм групп, примеры.
- 9.Подгруппы. Классы смежности по подгруппе.
- 10.Циклические группы.
- 11.Нормальные подгруппы и факторгруппы.
- 12.Гомоморфизм групп, его виды, примеры. Ядро гомоморфизма, его свойства.
- 13.Подгруппа, порожденная данным множеством. Нормальная подгруппа, порожденная данным множеством.
- 14.Подстановки. Симметричные группы, примеры.
- 15. Построение кольца многочленов от одной переменной над кольцом с единицей, степень многочлена, степень суммы и произведения многочленов.
- 16. Обратимые, ассоциированные многочлены, деление с остатком. Нод, нок многочленов и алгоритм Евклида. Теорема Безу.
- 17. Взаимно простые многочлены, их свойства.
- 21. Векторное пространство, его базис и размерность. Построение базиса. Координаты вектора.
- 22.Линейное отображение векторных пространств, его матрица. Линейные преобразования векторных пространств.
- 23. Собственные значения, собственные векторы, их свойства.
- 24.Скалярное произведение в вещественном и комплексном пространстве. Евклидово и унитарное пространство. Матрица Грама.