1.1. Метод Эйлера решения задачи Коши
Рассмотрим дифференциальное уравнение
. (1.1)
Предположим, что функция дифференцируема в некоторой окрестности точки . Задача Коши для дифференциального уравнения (1.1) формулируется следующим образом: найти решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию .
Предположим, что известно решение в точке и требуется найти , где – шаг интегрирования. Согласно формуле Ньютона – Лейбница, очевидным является следующее равенство
.
Запишем его следующим образом
.
Учитывая уравнение (1.1), последнее равенство можно записать в виде
. (1.2)
Интеграл в правой части выражения (1.2) приближенно можно вычислить, используя формулу прямоугольников:
.
Здесь . Отбрасывая члены порядка и полагая , , получаем известную формулу Эйлера
, . (1.3)
Аналогичный результат можно получить и другим способом. Для этого разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , в результате получим
(1.4)
или
.
В последнем выражении ограничимся двумя первыми слагаемыми в правой части. В результате получаем
, .
Полагаем, что решение в точке известно. Тогда решение в точке можно найти, используя последнюю формулу и учитывая, что :
(1. )
или
, .
Начинать вычислительный процесс необходимо с точки, определяющей начальные условия, то есть .
Вычислительный процесс, построенный по формуле (1.3), имеет локальную погрешность, пропорциональную . Это означает, что на каждом шаге интегрирования имеет место погрешность порядка . Соответственно, при увеличении времени интегрирования общая погрешность решения дифференциального уравнения возрастает.
Повысить точность получаемых результатов можно, если учитывать большее количество членов разложения функции в ряд Тейлора. Однако, для этого необходимо последовательно дифференцировать правую часть дифференциального уравнения (1.1).
Рассмотрим это на конкретном примере.
Учтем первые четыре члена в ряде Тейлора, в результате получим
.
Как и ранее, полагаем, что решение в точке найдено. Выбирая достаточно малый шаг , находим решение в следующей точке
.
Для реализации этой формулы необходимо знать производные искомого решения , , . Первая производная может быть найдена из дифференциального уравнения (1.1). Это есть его правая часть, . Вторую и третью производные решения – , – можно найти, дифференцируя правую часть уравнения (1.1), рассматривая ее, как сложную функцию. Соответственно имеем
,
, (1.5)
Как видим, такой путь повышения локальной точности решения дифференциального уравнения (1.1) является трудоемким.
Точность вычислений можно повысить при заданном шаге интегрирования и другими способами. В формуле (1.2) интеграл вычисляется по формуле прямоугольников. Вычислим этот интеграл, используя формулу трапеций. В результате будем иметь
.
По формуле Тейлора, справедливо равенство
.
Отбрасывая в последнем выражении члены порядка , и полагая
(1.6)
Здесь .
Погрешность, которая обеспечивается этими формулами, имеет порядок . Формулы (1.6) называются формулами Эйлера – Коши.
- Калужский филиал
- Численные методы решения дифференциальных уравнений
- Содержание
- Предисловие
- 1. Основные численные методы решения дифференциальных уравнений
- 1.1. Метод Эйлера решения задачи Коши
- 1.2. Методы Рунге – Кутта
- 1.3. Многошаговые методы. Экстраполяционные формулы Адамса
- 1.4. Многошаговые методы. Интерполяционные формулы Адамса
- 1.5. Методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений
- 2. Лабораторная работа № 1 «Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка»
- 3. Лабораторная работа № 2 Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений - го порядка
- 4. Лабораторная работа № 3 Численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
- 5. Литература