Признак Даламбера

(Жан Лерон Даламбер (1717–1783) –французский математик)

Теорема. Если существует предел , то приряд сходится, а при– расходится.

Если , то на вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство. По определению предела последовательности существует номер, что для всехвыполняется неравенство

Пусть , тогдаможно взять таким, что. Из неравенства ( . ) имеем

, или для всех. Получаем систему неравенств.

Отсюда, члены ряда, начиная с , меньше соответствующих членов убывающей геометрической прогрессии. Следовательно, ряд сходится.

Пусть теперь . Возьмем такое, что. Тогда из левого неравенства ( . ) следует, чтодля всех, т.е. члены ряда, начиная с-го, возрастают, поэтому предел общего члена ряда не равен нулю, значит – ряд расходится.

Пример . . Определить сходимость ряда .

Решение.

. Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

Пример . . Определить сходимость ряда .

Решение.

, ряд сходится.