Интеграл Дюамеля

Выразим решение неоднородного уравнения (9.3) с правой частью через функцию Гринаэтого уравнения. Используем принцип суперпозиции и представляем источникв виде суммы точечных возмущений, т. е. модулированной гребенкой дельта-функций

. (9.5)

Тогда решение уравнения (9.3)

выражается через функцию Грина в виде интеграла Дюамеля

. (9.6)

Доказательство:

В (9.3)

подставляем (9.6)

.

Операторы дифференцирования вносим внутрь интеграла

.

Учитываем (9.4)

,

находим

.

Полученное тождество доказывает, что (9.6) является решением уравнения (9.3).

Жан-Мари Констан Дюамель (1797–1872)

Французский математик и физик. В звучащем твердом теле обнаружил кроме основного тона также обертоны. Разработал метод исследования вынужденных колебаний. В теории вариаций ввел «принцип Дюамеля». Для неоднородных дифференциальных уравнений получил «интеграл Дюамеля». Изобрел аппарат, записывающий звук.