ODEGuide-arpfshr6kt7

Системы линейных однородных уравнений

Пусть на отрезке (2) рассматривается Jуравнений (1):

j= 1, …,J(5)

с начальными условиями . Если обозначить

и перейти к векторной форме

, (6)

то, сделав замену , где

получим вместо (6) однородную линейную систему ОДУ:

. (7)

Так как , то.

Наоборот, если задана система (7), то умножая ее скалярно Jраз на левые собственные векторыматрицыA, определяемые, как это следует из (7), с точностью до их длины, изJлинейных однородных систем

или (8)

приходим к эквивалентной (7) совокупности уравнений (5), связанных друг с другом только через начальные условия

v(0) =v₀или. (9)

Здесь — собственные значения матрицыA, т. е. корни характеристического уравнения

, (10)

где — многочлен степениJ.

Решение каждого из уравнений (5) имеет вид (4), т. е. , а значит, решение задачи Коши (7), (9) есть, т. е. является линейной комбинацией экспонент (если вседействительны) или имеет более сложный характер с присутствием гармонических составляющих (если средибудут комплексно-сопряженные корни уравнения (10)).

Содержание