2.1 Определение векторного произведения

Определение. Векторным произведением ненулевых векторов и называется такой вектор , который удовлетворяет трём условиям:

1. , т.е. длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

2. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .

3. Тройка , , - правая (рис.5)

Если хотя бы один из векторов и нулевой, то по определению . Заметим, что иногда векторное произведение двух векторов и обозначается символом .

Свойства векторного произведения

1. .

Это очевидно, так как при перестановке векторов изменится ориентация тройки.

2. Свойство сочетательности относительно скалярного множителя:

.

(без доказательства)

3. Распределительное свойство относительно сложения векторов :

.

.

Следствие. .

То есть скобки можно раскрывать, как при обыкновенном умножении, не переставляя местами множители (без доказательства).

2. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов

Теорема. Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и коллинеарны, тогда они лежат на одной прямой, следовательно, => . Значит,

Достаточность. Пусть векторное произведение . Так как , , то значит , т.е. или , а это означает, что векторы и b коллинеарны.

Замечание. Заметим, что если два вектора и коллинеарны, то существует такое число , при котором , т.е.

=> .

Итак, мы доказали, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

3. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами

Заметим, что . Далее очевидно, что

, , , , , .

Применяя свойство 3, перемножим векторно векторы

и

.

4. Механический смысл векторного произведения

Если сила поворачивает тело вокруг оси , то момент силы , как известно, равен (рис.5).

Пример 1.

Найти площадь треугольника с вершинами в точках

A(-1,1,2), B(2,3,3) и C(1,2,-1);

2. Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки A,B и C.

Решение.

1. ,

=

=

.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , следовательно .

2. В силу определения векторного произведения вектора , два вектора

удовлетворяют поставленной задаче (рис. 7).