Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом

Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий

Наряду с исходной дифференциальной системой

будем рассматривать множество возмущённых систем



где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем (1) и (2). При совпадении отражающих функций двух систем совпадают их операторы сдвига на симметричном промежутке вида и, значит, для периодических систем совпадают их отображения за период .

Как известно, отражающая функция системы (1) обязана удовлетворять соотношению

Если вектор-функция, а

вектор-столбец, то полагаем

,

Лемма 1.

Для любых трёх вектор-функций из которых функция дважды непрерывно дифференцируема, а функции и дифференцируемы, имеет место тождество

Лемма 2.

Пусть отражающая функция системы с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор функции функция

удовлетворяет тождеству

Доказательство. Учитывая соотношение , простыми выкладками установим тождества

К первым двум слагаемым последней части этого тождества применим тождество . Тогда после несложных формальных преобразований придём к соотношению



Прибавим к левой и правой частям этого соотношения выражение придём к нужному нам тождеству

Лемма доказана.

Теорема 1

Пусть вектор-функция является решением дифференциального уравнения в частных производных

Тогда возмущённая дифференциальная система

,

где - произвольная непрерывная скалярная нечётная функция, эквивалентна дифференциальной системе .

Доказательство. Пусть отражающая функция системы . Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Покажем, что она удовлетворяет и тождеству

Для этого введём функцию по формуле . Согласно лемме 2, эта функция удовлетворяет тождеству . При условиях доказываемой теоремы с учётом соотношения это тождество переписывается в виде

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество , имеет место соотношения

.

Таким образом, функция является решением задачи Коши

Решение этой задачи существует и единственно. Следовательно, имеет место тождество влекущее за собой тождество .

Теперь покажем, что отражающая функция системы является также и отражающей функцией системы . Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения , которое в данном случае должно быть переписано в виде

Действительно, последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечётность функции приходим к следующей цепочке тождеств:



Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое - в силу того, что для отражающей функции системы верно тождество , второе - потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество выполняется и функция является отражающей функцией системы . Теорема доказана.

А теперь рассмотрим пример.

Пример

Рассмотрим систему

в которой непрерывные и периодические функции , таковы, что и - нечётные функции.

Эта система эквивалентна стационарной системе

Здесь и , ,

.

Так как стационарная система имеет асимптотически устойчивый предельный цикл , которому соответствуют периодические решения, то из сказанного следует, что все решения , рассматриваемой системы, начинающиеся при на окружности , являются периодическими, а каждое из остальных решений, кроме нулевого, при стремится к одному из указанных периодических.

Общее решение системы

Рассмотрим две дифференциальные системы

, (1)

, , , (2)

где - непрерывная скалярная нечётная функция, -произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Лемма 1

Для любой нечётной функции , определённой в окрестности , справедливо .

Доказательство.

Так как - непрерывная нечётная функция, то и

при

Лемма 2

Пусть есть первый интеграл системы . Тогда есть первый интеграл системы .

Доказательство. Т.к. есть первый интеграл системы , то его производная в силу системы равна , т.е. .

Полагая здесь , получаем , что и означает что первый интеграл системы

.

Теорема 1.

Пусть - отражающая функция системы и удовлетворяет следующему соотношению (3)

Тогда система эквивалентна системе в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Поскольку отражающая функция системы , то (4). Рассмотрим выражение

(равно т.к. отражающая функция системы )+(равно по ) (4)

означает, что отражающая функция системы . Поскольку у систем и отражающие функции совпадают, то системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций.

Введём такие обозначения

и - семейства функций, являющиеся решениями систем и , соответственно и - решение систем и соответственно.

Лемма 4

Пусть первый интеграл системы . Если выполнено соотношение (5), где некоторая функция, то есть первый интеграл системы , где .

Доказательство. Так как , то удовлетворяет уравнению , так как , то . Умножим обе части справа на , получим . Перенесём всё в левую часть и к левой части прибавим выражение . Так как - первый интеграл, получим . Т.е. производная функции в силу системы равна , а это означает, что есть первый интеграл системы . Ч.т.д.

Лемма 5. Если удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:

(6), где - правая часть системы (1), первый интеграл (2), то система (1) эквивалентна системе (2), у которой в смысле совпадения отражающей функции.

Доказательство. Умножим (6) на скалярную функцию , получим:

(7)

Так как - первый интеграл системы (1), то

(8)

Прибавим (7) к (8) и преобразуем, получим: . Таким образом, удовлетворяет теореме 1 (если удовлетворяет , то (1) эквивалентно (2) и значит, если , то система (2) эквивалентна системе (1).

Теорема 2

Пусть первый интеграл системы (1). Если , удовлетворяет уравнению (6), то система (1) эквивалентна системе (2). И если, кроме того (9), где - некоторая функция (-может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где и .

Доказательство.

Доказательство 1-й части теоремы прямо из леммы 3.

Требуется доказать вторую часть теоремы. Найдём производную в силу системы (2)

и

обозначим её (*).

Выражение в […]=0, так как -первый интеграл системы (1), (*) преобразуется в следующее выражение

[так как ]= (**)

Так как удовлетворяет уравнению , то таким образом (**)=0, что и означает, что первый интеграл системы (2). Требование вытекает из леммы 2.

Лемма

Пусть системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций. Пусть их отражающая функция и пусть есть первый интеграл системы , тогда U, , и .

Доказательство. Возьмём произвольное решение системы . Покажем, что на нём U обращается в постоянную.

Действительно, т. к. отражающая функция, то . По определению функции и т. к. первый интеграл системы , то U.

То, что U очевидно. Действительно, возьмём любую функцию . Обозначим по свойству отражающей функции .

Обозначим , так как только функциям из сопоставляет функции из , то и по определению первого интеграла U отлична от и обращается в только вдоль решений системы . А это и означает, что U - первый интеграл системы .

(U удовлетворяет лемме 2).

Лемма даёт понимание первого интеграла и взаимосвязи первых интегралов возмущённой и не возмущённой систем.