Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.
Рассмотрим систему
(1).
Будем предполагать, что и непрерывны в области ( может не существовать).
def: Соотношение называется первым интегралом системы (1) в области G, если выполняется 3 условия:
1)
2) ни в какой окрестности произвольной точки из G.
3) Если – решение системы (1), то (те есть на графике решения системы(1))
def: Система первых интегралов системы (1) называется полной в некоторой области G, если (Якобиан) в каждой точке из G.
Теорема:
Полная система первых интегралов системы (1) задает решение системы (1) (локально).
Доказательство:
◄ Пусть – произвольная точка из G, тогда соотношения определяют неявно единственную функцию в окрестности точки , удовлетворяющую условию . По теореме о неявной функции (эту теорему можно применить, так как и ) в окрестности точки . С другой стороны, по теореме о решения задачи Коши, существует единственное решение системы (1), удовлетворяющее начальному условию ( – локально удовлетворяет условию Липшица по , так как по предположению непрерывна на G). В силу условия 3), для первых интегралов все функции . В силу единственности неявной функции будет в окрестности точки . ►
- 2 Семестр.
- Лектор: Сухинин м. Ф.
- Канонические и нормальные системы оду. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.
- Лемма Арцелы (критерий компактности).
- Ломаные Эйлера и теорема Пеано.
- Теорема о единственности решения задачи Коши для систем оду. Следствие для оду n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.
- Лемма о равномерной непрерывности.
- Непрерывность решения системы оду по начальным данным и параметру.
- 2) , , : & Это следует из открытости множества, непрерывности в точке и условия . Выберем , .
- Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.
- Фундаментальная система решений (фср) для линейной однородной системы оду. Существование фср и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.
- Резольвента линейной системы оду и ее свойства.
- Построение линейной, однородной системы по известной фср. Формула Лиувилля.
- Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.
- Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения
- Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.
- Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант.
- Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
- Лемма Адамара.
- Дифференцируемости решения системы оду по начальным данным и параметру.
- Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.
- Существование полной системы первых интегралов
- Линейные однородные УрЧп первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы оду. Замечание о квазилинейных уравнениях.
- Квазилинейные УрЧп первого порядка. Две леммы о характеристиках.
- Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧп первого порядка в случае пространственных переменных.
- По условию 4),
- Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.
- Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства.