1.1 Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-ого порядка называется уравнение вида

,

где F- известная функция (n+2)-x, x- независимая переменная из интервала (a,b), y(x) - неизменная функция. Число n называется порядком уравнения.

Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a,b), если она n раз дифференцируема на (a,b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме:

.

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия. Чтобы выделить единственное решение уравнения n-го порядка обычно задают n начальных условий , , , .

Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскивания решения y=y(x) уравнения ,

удовлетворяющего условиям , , , .

Условия , , , называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.

Любое конкретное решение уравнения n-го порядка , называется частным решением.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция

, содержащая некоторые постоянные (параметры)и обладающая следующими свойствами:

является решением уравнения при любых доступных значениях

Для любых начальных данных , , , для которых задача Коши имеет единственное решение, существует значение постоянных такие что решение удовлетворяет заданным начальным условиям.

Иногда частное или общее решение уравнения удается найти только в неявной форме: f(x,y)=0 или G

Такие неявно заданные решения называются частным интегралом или общим интегралом уравнения.

Если задачу об отыскивании всех решений дифференциального уравнения удается свести к алгебраическим операциям и к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, то уравнение называется интегрируемым в квадратурах. Класс таких уравнений относительно узок.

Для решения уравнений, которые не интегрируются в квадратурах, применяются приближенные или численные методы.

Задача теории обыкновенных дифференциальных уравнений - исследование общих свойств решений, развитие точных, асимптотических и численных методов интегрирования уравнений.