Дифференциальные уравнения
1.1 Дифференциальные уравнения. Основные понятия
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-ого порядка называется уравнение вида
,
где F- известная функция (n+2)-x, x- независимая переменная из интервала (a,b), y(x) - неизменная функция. Число n называется порядком уравнения.
Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a,b), если она n раз дифференцируема на (a,b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме:
.
Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия. Чтобы выделить единственное решение уравнения n-го порядка обычно задают n начальных условий , , , .
Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскивания решения y=y(x) уравнения ,
удовлетворяющего условиям , , , .
Условия , , , называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.
Любое конкретное решение уравнения n-го порядка , называется частным решением.
Общим решением дифференциального уравнения называется функция
, содержащая некоторые постоянные (параметры)и обладающая следующими свойствами:
является решением уравнения при любых доступных значениях
Для любых начальных данных , , , для которых задача Коши имеет единственное решение, существует значение постоянных такие что решение удовлетворяет заданным начальным условиям.
Иногда частное или общее решение уравнения удается найти только в неявной форме: f(x,y)=0 или G
Такие неявно заданные решения называются частным интегралом или общим интегралом уравнения.
Если задачу об отыскивании всех решений дифференциального уравнения удается свести к алгебраическим операциям и к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, то уравнение называется интегрируемым в квадратурах. Класс таких уравнений относительно узок.
Для решения уравнений, которые не интегрируются в квадратурах, применяются приближенные или численные методы.
Задача теории обыкновенных дифференциальных уравнений - исследование общих свойств решений, развитие точных, асимптотических и численных методов интегрирования уравнений.