5. Кратные множители

Существуют методы, позволяющие узнать, обладает ли данный многочлен кратными множителями, и в случае положительного ответа дающие возможность свести изучение этого многочлена к изучению многочленов, уже не содержащих кратных множителей.

Теорема. Если является - кратным неприводимым множителем многочлена , , то он будет - кратным множителем производной этого многочлена. В частности, простой множитель многочлена. Не входит в разложение производной.

В самом деле, пусть

, (5.1)

причем уже не делится на . Дифференцируя равенство (5.1), получаем:

.

Второе из слагаемых, стоящих в скобках, не делится на . Действительно, не делится по условию, имеет меньшую степень, т.е. также не делится на . С другой стороны, первое слагаемое суммы, стоящей в квадратных скобках, делиться на, т.е. множитель , на самом деле входит в с кратностью .

Из данной теоремы и из указанного выше способа разыскания наибольшего общего делителя двух многочленов следует, что если дано разложение многочлена на неприводимые множители:

, (5.2)

то наибольший общий делитель многочлена и его производной обладает следующим разложением на неприводимые множители:

, (5.3)

где множитель следует при заменять единицей. В частности, многочлен тогда и только тогда не содержит кратных множителей, если он взаимно прост со своей производной.