2.3 Деление многочленов

В алгебре, деление многочленов столбиком — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x). Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов f(x) и g(x), , существуют единственные полиномы q(x) и r(x), такие что

,

причем r(x) имеет более низкую степень, чем g(x).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик является нахождение частного q(x) и остатка r(x) для заданных делимого f(x) и ненулевого делителя g(x).

Пример:

Покажем, что

Частное и остаток от деления могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:

а. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой .

б. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого .

в. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой .

г. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

6

д. Повторяем шаг 4.

е. Конец алгоритма.

Таким образом, многочлен q(x) = x² − 9x − 27 — частное деления, а r(x) = − 123 — остаток.