1.3.2 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Введем следующие сокращения ЛНДУ - линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Рассмотрим решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнение

где p и q - некоторые числа [8].

Общее решение уравнения (15) представляет собой сумму yо.о. соответствующего однородного уравнения и частного решения yч.н. неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (15) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

Для уравнения с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения yч.н., если правая часть уравнения (15) имеет так называемый " специальный вид "

Cлучай 1.Правая часть имеет вид

Тогда уравнение (15) запишется в виде:

В этом случае частное решение yч.н ищем в виде:

где r-число, равное кратности б как корня характеристического уравнения.

Случай 2.Правая часть имеет вид

Где б и в - действительные числа.Уравнение (15) запишется в виде:

Можно показать, что в этом случае частное решение yч.н уравнения (16) следует искать в виде [8]:

Где M(x) и N(x)-многочлены степени l с неопределенными

коэффициентами, l-наивысшая степень многочленов P(x) и Q(x), т.е.

l=max(n,m).