Інтеграл Стілтьєса
§4. Інтегрування за частинами
Для інтегралів Стілтьєса має місце формула
- (8)
в припущенні, що існує один з цих інтегралів; існування іншого звідси вже випливає. Ця формула носить назву формули інтегрування за частинами. Доведемо її.
Нехай існує інтеграл . Розклавши проміжок [а, b] на частини [xi , xi+1] (i = 0, 1, ..., n -- 1), оберемо в цих частинах довільно по точці таким чином, що
Суму Стілтьєса для інтеграла
можна представити у вигляді
Якщо додати або відняти зправа вираз то перепишеться так:
Вираз у фігурних дужках представляє собою стілтьесову суму для інтеграла (існування якого припущено!). Вона відповідає розбиттю проміжку [а, b] точками ділення якщо в якості обраних з проміжків точок узяти xi, а для проміжків , відповідно, а і b. Якщо, як зазвичай, покласти то тепер довжини всіх частинних проміжків не перевищать .
При сума у квадратних дужках прямує до , з чого слідує, що існує границя і для , тобто інтеграл і цей інтеграл визначається формулою (9). [8]