2. Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение умножается на (-1). То есть ВxА=-(АxВ).
2. Векторное произведение обладает свойством сочетательности относительно числового множителя: и , т.е. чтобы умножить векторное произведение векторов на число, достаточно умножить на это число один из сомножителей.
3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, то есть .
4. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов А и В численно равна площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах А и В, как на сторонах.
3. Доказательства свойств
1. В самом деле, площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В, а также и его плоскость не меняются при перестановке А и В. Поэтому векторы А*В и В*А имеют одинаковые длины и коллинеарны. Направления же этих векторов противоположны; действительно, если смотреть на плоскость векторов А и В с конца вектора А*В, то кратчайший поворот от В к А будет казаться происходящим по часовой стрелке. Следовательно, вектор В*А будет направлен в противоположную сторону.
Заметим ещё, что в случае коллинеарности векторов А и В равенство АxВ=-(ВxА) очевидно, так как тогда АxВ и ВxA - нулевые векторы.
2. Обе формулы доказываются аналогично. Докажем, например, первую из них. Ограничимся случаем >0.
Для доказательства равенства векторов (АxВ) и АxВ заметим прежде всего, что длины этих векторов одинаковы:
.
Направления же векторов (А*В) и А*В совпадают, так как при умножении вектора на положительное число его направление не меняется.
3. Для доказательства заметим сначала, что произведение АxС0, где С0 - единичный вектор, можно построить так (рис. 1).
рис. 1.
Спроектируем вектор А= на плоскость, перпендикулярную к С0, и полученную вектор-проекцию 1 повернём в этой плоскости вокруг точки О по часовой стрелке на 900 (если смотреть на плоскость с конца вектора С0).
Полученный вектор 2 и равен А*С0. В самом деле,
1) ОА2=ОА1=Аcos(900-ц)=Asinф, где ф - угол между векторами А и С0;
2) Вектор 2 перпендикулярен к векторам А и С0 представляется совершающимся против часовой стрелки. Итак, 2=А*С0.
Пусть теперь даны единичный вектор С0, перпендикулярная к нему плоскость р и треугольник ОА1В1 (рис. 2.), в котором 1=А, =В и 1=А+В.
рис. 2.
Спроектируем треугольник ОА1В1 на плоскость р и повернём против проекцию ОА2В2 в плоскости р по часовой стрелке на 900.
Получим треугольник ОА3В3, в котором по предыдущему
3=(А+В)*С0, 3=В*С0, =В*С0.
Так как = + , то (А+В)*С0=А*С0 + В*С0.(1)
Заметив, что С=С*С0, умножим теперь обе части равенства (1) на скаляр С. Применив свойство 2 векторного произведения, получим:
(А+В)*СС
4. Справедливость этого утверждения основана на том, что площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними, что, в свою очередь, следует непосредственно из определения векторного произведения векторов А и В. (рис. 3,4)
рис. 3
Рис. 4
- Глава 1. Определители
- 1. Определения
- 2. Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде
- 3. Свойства определителя
- 4. Доказательства свойств определителя
- 5. Пример применения правила Крамера для решения систем n уравнений с n неизвестными
- 1. Определения
- 2. Свойства векторного произведения
- 4. Смешанное произведение
- 5. Векторное произведение векторов, заданных проекциями
- 6. Примеры решение задач (с использованием определителей)
- «Алгебра и геометрия»
- Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Курс лекций по линейной алгебре и аналитической геометрии
- 5.4. Контрольные вопросы по дисциплине «Алгебра и геометрия».
- Геометрия и алгебра (Галаев с.В.)
- Аннотация по дисциплине «Алгебра и геометрия»
- Беклемишев д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – м.:Наука, 1979.
- 3. Аналитическая геометрия и линейная алгебра