5. Векторное произведение векторов, заданных проекциями
Обозначим через x1,y1,z1 проекции вектора А, а через x2,y2,z2 проекции вектора В. Выразим через них векторное произведение А*В:
АxВ=(ix1+jy1+kz1)*(ix2+jy2+kz2).
По распределительному свойству суммы векторов умножаются как многочлены:
АxВ=(i*i)x1x2+(j*i)y1x2+(k*i)z1x2+(i*j)x1y2+(j*j)y1y2+(k*j)z1y2+(i*k)x1z2+(j*k)y1z2+(k*k)z1z2. (1)
Так как I, j, k являются тремя взаимно перпендикулярными единичными векторами и вращение от j к k представляется с конца вектора i совершающимся против часовой стрелки, то:
.
Следовательно в полученном выражении (1) для АВ пропадут три слагаемых, остальные же соединятся попарно, и окончательная формула будет:
АxВ=i(y1z2-y2z1)+j(z1x2-z2x1)+k(x1y2-x2y1).
Последнюю формулу можно также записать в символический, лёгко запоминаемой форме, если воспользоваться понятием определителя 3-го порядка.
.
Вектор имеет координаты . Вектор имеет координаты . Тогда
Так как верна формула , то и следующая формула верна
- Глава 1. Определители
- 1. Определения
- 2. Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде
- 3. Свойства определителя
- 4. Доказательства свойств определителя
- 5. Пример применения правила Крамера для решения систем n уравнений с n неизвестными
- 1. Определения
- 2. Свойства векторного произведения
- 4. Смешанное произведение
- 5. Векторное произведение векторов, заданных проекциями
- 6. Примеры решение задач (с использованием определителей)
- «Алгебра и геометрия»
- Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Курс лекций по линейной алгебре и аналитической геометрии
- 5.4. Контрольные вопросы по дисциплине «Алгебра и геометрия».
- Геометрия и алгебра (Галаев с.В.)
- Аннотация по дисциплине «Алгебра и геометрия»
- Беклемишев д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – м.:Наука, 1979.
- 3. Аналитическая геометрия и линейная алгебра