Определители и их применение в алгебре и геометрии

контрольная работа

5. Векторное произведение векторов, заданных проекциями

Обозначим через x1,y1,z1 проекции вектора А, а через x2,y2,z2 проекции вектора В. Выразим через них векторное произведение А*В:

АxВ=(ix1+jy1+kz1)*(ix2+jy2+kz2).

По распределительному свойству суммы векторов умножаются как многочлены:

АxВ=(i*i)x1x2+(j*i)y1x2+(k*i)z1x2+(i*j)x1y2+(j*j)y1y2+(k*j)z1y2+(i*k)x1z2+(j*k)y1z2+(k*k)z1z2. (1)

Так как I, j, k являются тремя взаимно перпендикулярными единичными векторами и вращение от j к k представляется с конца вектора i совершающимся против часовой стрелки, то:

.

Следовательно в полученном выражении (1) для АВ пропадут три слагаемых, остальные же соединятся попарно, и окончательная формула будет:

АxВ=i(y1z2-y2z1)+j(z1x2-z2x1)+k(x1y2-x2y1).

Последнюю формулу можно также записать в символический, лёгко запоминаемой форме, если воспользоваться понятием определителя 3-го порядка.

.

Вектор имеет координаты . Вектор имеет координаты . Тогда

Так как верна формула , то и следующая формула верна

Делись добром ;)