§ 1. Начальные понятия сферической геометрии
Напомним, что сферой радиуса R>0 с центром в точке О на-зывается множество точек пространства, удаленных от точки О на расстояние R. Сферу с центром О радиуса R будем обозна-чать Сф (О, R). По определению
Сф (О, R)={M| |OM|=R}
Первый вопрос, который мы обсудим, таков: как вдоль сферы измерить кратчайшее расстояние между двумя ее точками A и В? Иными словами, какова кратчайшая линия на сфере, соединяющая точки А и В?
Простейшие линии на сфере -- это окружности (рис. 1), по которым сфера пересекается со всевозможными плоскостями.
Плоскостям, проходящим через центр сферы, отвечают окружности на сфере, имеющие наиболь-ший возможный радиус, равный радиусу сферы R; они называются большими окружностями.
Если точки А и В сферы (О, R) не диаметрально противо-положны, т. е. не являются концами одного диаметра, то через А и В можно провести единственную большую окружность, ко-торую мы обозначим (АВ) -- она получится в пересечении сфе-ры с однозначно определенной плоскостью АОВ. Пусть [AB]--- меньшая из дуг окружности (АВ), соединяющей точки А и В. Если рассмотреть дугу любой другой окружности, проходящей через точки А и В (например, дугу г -- рис. 2,а), то оказыва-ется, длина г будет больше длины [AВ]. Чтобы сравнить эти длины, можно поворотом вокруг прямой АВ совместить плоскость дуги г с плоскостью большой окружности (АВ), тогда г будет содержать дугу [АВ] внутри себя (рис. 2,б); как нетрудно понять, отсюда и следует, что длина г больше длины [АВ].
Итак, расстояние между двумя точками при измерении вдоль дуги большого круга меньше, чем при измерении вдоль дуги любой другой окружности. Поэтому естественно определить рас-стояние на сфере следующим образом.
Определение: Сферическим расстоянием между двумя точками сферы называется длина кратчайшей из дуг большой окружности, проведенной через эти точки.
(В случае, когда точки A и В диаметрально противополож-ны, через них можно провести бесконечно много больших ок-ружностей, но все они будут иметь одинаковую длину, равную рR.)
Сферическое расстояние между точками A и В будем обо-значать через |AВ|s. Нетрудно видеть, что это расстояние мож-но вычислить по формуле
|AВ|s =R* (1.1)
где -- радианная мера угла AOB.
Напомним, что расстояние на плоскости и в пространстве -- понятие неопределяемое, но удовлетворяющее трем условиям -- аксиомам расстояния:
(I) |AВ|?0, причем |AВ|=0 в том и только в том случае, когда A = В;
(II) для любых точек A и В
|AB|=|BA|
(III) для любых точек А, В и С
|AC|?|AB|+|BC|
(это неравенство называют неравенством треугольника).
В сферической геометрии мы определили понятие расстояния поэтому нужно проверить выполнение важных свойств (I)?(III).
Теорема 1. Для сферического расстояния выполнены ак-сиомы расстояния (I)?(III).
Доказательство. Справедливость аксиом I и II для сферического расстояния очевидна. Используя формулу (1.1), перепи-шем неравенство треугольника |AC|s?|AB|s+|BC|s в виде:
R* ? R*+R*
Рассматривая соответствующий чертеж (рис. 3), мы видим, что в случае, когда точки A,B и С не принадлежат одной боль-шой окружности, неравенство треугольника на сфере отвечает известному свойству плоских углов при вершине О трехгран-ного угла ОАВС.
Кратчайшую из двух дуг большой окружности (АВ), про-ходящей через две не диаметрально противоположные точки A и В сферы, естественно назвать отрезком АВ на сфере, а саму большую окружность АВ -- прямой на сфере.
Доказывая теорему 1, мы натолкнулись на замечательное со-ответствие между трехгранным углом ОАВС с вершиной в центре сферы и сферическим треугольником ABC -- частью сферы, ограниченной отрезками АВ, ВС и СА. Его можно положить в основу определения сферического многоугольника: выпуклым сферическим n-угольником будем называть пересечение сферы с выпуклым n-гранным углом с вершиной в центре сферы (рис. 4). Наконец, проводя из данной точки AСф (О,R) «лу-чи» АВ и АС на сфере (рис. 5), мы видим, что они, «разой-дясь», снова «сходятся» -- пересекаются и в диаметрально про-тивоположной точке А. Часть сферы, заключенная между дуга-ми ABA и ACA, -- это сферический аналог угла на плоскости, двуугольник АА. Как и выше, двуугольник можно определить как пересечение сферы и двугранного угла с ребром АА и гра-нями AAB и AAC.
Конечно, как и на плоскости, длинной отрезка АВ на сфере назовем расстояние |AB|s между его концами.
Определение. Величиной угла ВАС между отрезками АВ и АС на сфе-ре называется величина угла между ка-сательными к большим окружностям АВ и АС, проведенными в точке А. Поскольку касательные АВ1 и АС1 перпендикулярны радиусу ОА, то угол В1АС1 является линейным углом дву-гранного угла, отвечающего двуугольни-ку АА (рис. 6). Таким образом, величина сферического угла А, равна величине двугранного угла при ребре АА. Далее как обычно, мы будем вместо слов «величина угла» часто употреб-лять просто слово «угол». Итак, мы ввели понятия прямой, расстояния, отрезка, угла и n-угольника (n?2) на сфере. Непосредственно из определений вытекает следующее важное утверждение.
Теорема 2. Если А1А2..Аn -- сферический n-угольник, по-лучающийся в пересечении многогранного угла О А1А2..Аn со сферой (О,R), то длины сторон этого n-угольника пропорцио-нальны величинам плоских углов многогранного угла:
|AkAk+1|s=
а углы сферического многоугольника соответственно равны двугранным углам многогранного угла.
Это соответствие между сферическими многоугольниками и многогранными углами поможет нам в дальнейшем.