§5. Применения сферической геометрии в навигации

Навигация (это слово происходит от латинского navigatio -- плыву на судне) --одна из наиболее древних наук. Простейшие задачи навигации, такие, например, как определение кратчай-шего маршрута, выбор направления движения, встали перед са-мыми первыми мореплавателями. В настоящее время эти же и другие задачи приходится решать не только морякам, но и летчикам, и космонавтам. Некоторые понятия и задачи навига-ции, тесно связанные со сферической геометрией, рассмотрим подробнее.

Задача 1. Известны географические координаты -- широ-та и долгота пунктов A и В земной поверхности: . Требуется найти кратчайшее расстояние между пунктами A и В вдоль земной поверхности (радиус Земли считается изве-стным: R = 6371 км).

Решение: Напомним сначала, что широтой пункта М зем-ной поверхности называется величина ц_M угла, образованного радиусом ОМ, где О --центр Земли, с плоскостью экватора: -90°? ц_M ?90°, причем к северу от экватора широта считается положительной, а к югу--отрицательной (рис. 23).

Долгота л_M пункта М есть величина двугранного угла между плоскостя-ми СОМ и СОH, где С -- Северный полюс Земли, а H --точка, отвечающая гринвичской обсерватории: -180°? л_M ?180° (к востоку от гринвичского меридиана долгота считается положи-тельной, к западу -- отрицательной).

Как уже известно, кратчайшее расстояние между пунктами A и В земной поверхности -- это длина меньшей из дуг боль-шой окружности, соединяющей A и B (такую дугу называют ортодромией -- в переводе с греческого означает «прямой бег»).

Поэтому наша задача сводится к определению длины стороны АВ сферического треугольника ABC (С--северный полюс). Применяя стандартные обозначения для элементов треугольника AВС и соот-ветствующего трехгранного угла ОАВС,

из условия задачи находим: (рис. 24). Угол С также нетрудно выразить через коор-динаты точек А и В. По определению поэтому либо , если , либо , если . Зная , находим с помощью теоремы косинусов:

Зная cosг и, следовательно, угол г, находим искомое расстояние .

3адача 2. Вычислить начальный курс корабля при движе-нии по ортодромии из А в B, если известны географические координаты этих точек

Решение. Сначала уточним условие. Курсом корабля в точке М называется величина угла, образованного меридианом, проходящим через М, и продольной плоскостью судна. Таким образом, начальный курс судна в точке А -- это угол CAB (рис. 24). Для вычисления этого угла применим теорему косинусов к сферическому треугольнику ABC:

.

Подставляя найденное значение cosг (см. задачу 1), полу-чаем:

Хотя ортодромия и является кратчайшим путем на сфере, самолеты и корабли движутся иными маршрутами. Дело в том, что ортодромия, отличная от дуги меридиана или экватора, пересекает различные меридианы под различными углами, и, следовательно, при движении по ортодромии приходится непре-рывно менять куре. Это, конечно, практически неосуществимо. Намного проще плавать по постоянному курсу. Кривые, которые пересекают меридианы под постоянным углом, называют локсодромиями (в переводе «косой бег»). На рисунке 25 показана локсодромия, пересекающая все меридианы под углом 70 Конечно, при движении по локсодромиям путь удлиняется. Но если пункты А и В находятся сравнительно близко друг от друга, то удлинение пути по сравнению с движением по ортодромии довольно незначительно. Если же сферическое расстояние велико, то и проигрыш при движении по локсодромии достигает большой величины. Тогда поступают следующим образом: рассчи-тывают ортодромию, связывающую A и В, вычисляют координа-ты нескольких промежуточных точек: A₀=A, A₁ ..., A_n=В, за-тем определяют курс по локсодромиям, связывающим A₀ и А₁, А₁ и A₂, ..., и следуют этими курсами. Разумеется, чем больше", промежуточных точек нанесено на ортодромию, тем меньше этот: маршрут отличается от ортодромии (в морской практике про-межуточные точки намечают, как правило, так, чтобы они от-личались по долготе на 10°).

Для прокладки курса описанным способом необходимо ре-шить ряд задач. Одна из них такова:

Задача 3. Найти соотношение, позволяющее по координа-там точек A и В вычислить координаты промежуточных точек ортодромии АВ.

(Иными словами, требуется вывести уравнение ортодромий, соединяющей A и В.)

Решение. Заметим сначала, что если данные точки лежат на одном меридиане или экваторе, то уравнение ортодромии находится легко: л=const или ц = 0°. Если это не так, то ор-тодромия пересекает экватор в некоторой точке A₀. Обозначим долготу точки A₀ через л₀ , а угол, образованный ортодромией АВ с экватором, через k₀. Выведем сначала уравнение орто-дромии в предположении, что k₀ и л₀ известны.

Пусть Х(ц, л) --произвольная точка этой ортодромии, а У -- точка пересечения меридиана, проходящего через X, с эквато-ром. Тогда треугольник А₀ХY -- прямоугольный. Рассмотрим его.

По теореме синусов

Так как , то, обозначив через в, а угол через г, получим:

По теореме косинусов

Отсюда

из (5.1) и (5.2) получаем:

По сферической теореме Пифагора

Отсюда

От полученного уравнения ортодромии по ее угловому коэффициенту (соотношение 5.3) можно перейти к ее уравнению по двум точкам A(л₁, ц₁) и B(л₂, ц₂). Дело сводится к решению системы двух уравнений относительно . В самом деле, координаты точек А и В удовлетворяют уравнению (5.3). Поэтому

Отсюда

Из (5.4) и (5.5) следует:

Так как

имеем:

Из этого соотношения находится л₀, а из уравнения (5.3)--k₀.

Решение задачи 3 позволяет находить координаты точек ортодромии, соединяющей A(л₁, ц₁) с B(л₂, ц₂). Но для того чтобы проложить курс из А в B, требуется также и умение решать следующую задачу: зная координаты точек А и В, найти курс при движении корабля по локсодромии АВ. Для решения этой задачи можно вывести уравнение локсодромии АВ. Но существует и более простой способ.

Этот способ связан с другой проблемой навигации -- проб-лемой выбора карт, наиболее пригодных в судовождении. По-скольку при прокладке курса важнейшую роль играют углы, то первое требование, которым должны удовлетворять карты, применяемые в навигации, таково: углы между кривыми на сфере должны быть равны соответствующим им углам на карте так как траектории судов на земной поверхности часто состоят из локсодромий, желательно, чтобы локсодромии на на-вигационных картах изображались возможно проще, а лучше всего отрезками.

Карты, удовлетворяющие двум этим требованиям, существуют. Впервые их предложил фламандский картограф Меркатор около 400 лет тому назад (на рисунке 26 приведен пример такой карты). Задачи, связанные с изготовлением карт, также решаются с участием сферической геометрии.