ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ И ИХ СВЯЗЬ СПРЯМОУГОЛЬНЫМИ

Прямоугольная система координат на плоскости вводится следующим образом. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси 0х и 0у, имеющие общее начало точку 0 и общую единицу масштаба.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Плоскость, в которой расположены оси 0х и 0у, называется координатной плоскостью и обозначается 0ху.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Горизонтальную ось 0х называют осью абсцисс, вертикальную ось 0у - осью ординат, общее начало осей, точку 0 называют началом координат.

Оси 0х и 0у образуют прямоугольную (декартовую) систему координат на плоскости.

Возьмем на координатной плоскости 0ху произвольную точку М. Опустим из нее перпендикуляры на оси координат. На осях получим точки М₁ и М₂ - проекции точки М соответственно на ось 0х и 0у (см. рис. 1).

Рис. 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Координата х точки М₁ на оси 0х называется абсциссой точки М, координата у точки М₂ на оси 0у называется ординатой точки М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Упорядоченная пара чисел (х; у), где х - абсцисса точки М, у - ордината точки М, называются п р я м о у г о л ь н ы м и (или декартовыми прямоугольными) координатами точки М. Записывается так: М (х; у).

Отметим, что оси 0х и 0у делят координатную плоскость на четыре части, называемыми четвертями или квадрантами. (См. рис. 2)

Рис. 2

Ясно, что каждой точке на плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел х и у - ее прямоугольные координаты. Обратно, каждая упорядоченная пара чисел х и у определяет единственную точку на плоскости.

Когда говорят " дана точка " или " найти точку ", то это означает, что заданы или требуется найти координаты этой точки.

Способ определения положения точки с помощью чисел называется методом координат.

Создателем координатного метода был французский математик Декарт, который прилагал этот метод ко многим геометрическим задачам и создал математическую дисциплину - аналитическую геометрию.

Рассмотрим две важные задачи аналитической геометрии на плоскости, которые решаются методом координат.

Задача 1. Расстояние между двумя точками на плоскости.

На плоскости даны две точки М₁ (х₁; у₁) и М₂ (х₂; у₂) . Найдем расстояние между ними d. Выполним чертеж, расположив для простоты точки в первой четверти.

Рис. 3

Через точки М₁ и М₂ проведем отрезки М₁k 0х; М₂k 0y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник М₁ М₂ k. Его катеты М₁k = х₂ - х₁; М₂k = у₂ - у₁.

По теореме Пифагора: .

Получим формулу (1)

ЗАДАЧА 2. Координаты середины отрезка.

Известны координаты концов отрезка М₁ М₂ - М₁ ( х₁; у₁) и М₂ ( х₂; у₂) . Найдем координаты точки М , являющейся серединой отрезка.

Выполним чертеж, расположив точки в первой четверти.

Рис. 4

Обозначим искомые координаты точки М ( х ; у). М - середина отрезка М₁ М₂, т.е. М₁М = ММ₂ . Спроектируем точки М₁, М₂ и М на ось 0х, получим там точки р₁, р₂, р. Из геометрии известно, что р₁р = рр₂ . Выразим эти отрезки через координаты:

р₁р = х - х₁; рр₂ = х₂ - х

Получим: х - х₁ = х₂ - х

Выразим х: 2х = х₂ + х₁ .

Проектируя точки на ось 0у аналогично получим: .

Формулы (2)

позволяют находить координаты середины отрезка.

ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ.

Возьмем на плоскости точку 0, которую назовем полюсом. Проведем из полюса луч 0р, называемый полярной осью.

Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости. (См. рис. 5)

Пусть М - произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Соединим эту точку М с полюсом 0 отрезком 0М.

Рис. 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Расстояние r от точки М до полюса называют полярным радиусом точки М. Угол между полярной осью и отрезком ОМ называют полярным углом точки М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки М.

Будем записывать М (r; ).

Полярный радиус принимает значения r 0 (r = 0 для полюса!).

Полярный угол отсчитывается от полярной оси к отрезку 0М против часовой стрелки. Значения полярного угла достаточно рассматривать из промежутка 0 2.

ЗАМЕЧАНИЕ. В некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие 2, а также отрицательные углы, т.е. углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ И ПОЛЯРНЫМИ КООРДИНАТАМИ

Иногда приходится одновременно пользоваться прямоугольными и полярными координатами на плоскости. Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

Формулы (2) выражают полярные координаты точки через ее прямоугольные.

Заметим, что значению тангенса, найденному по формуле в промежутке 0 2 соответствуют два значения угла . Выбирается то значение , которое соответствует положению точки М на координатной плоскости.

ПРИМЕР 1. Зная декартовы координаты точки М (; у = 1) , найти ее полярные координаты.

Решение. По формулам (2) получим:

.

Этому значению тангенса соответствуют два значения угла . Т.к. точка лежит в I четверти берем .

Значит полярные координаты точки .

ПРИМЕР 2. Записать в полярных координатах уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а.

Решение. Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а в декартовых координатах имеет вид: х² + у² = а².

Подставим вместо х , у их выражение через полярные координаты по формулам (1) . Получим (r cos )² +(r sin )² = a².

r² (cos² + sin² ) = a² r² = a² r = a.

Получим r = а - полярное уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а.

Предположим, что полюс полярной системы координат совпадает с началом прямоугольной системы координат 0ху, а полярная ось совпадает с положительной полуосью 0х.

Рис. 6

Переход от полярных координат к прямоугольным.

Пусть известны полярные координаты произвольной точки М (r; ). х = 0K , y = MK - прямоугольные координаты точки М. Из чертежа на рис.6 из прямоугольного треугольника ОМК получим:

(3)

Формулы (3) выражают прямоугольные координаты точки через ее полярные координаты.

Переход от прямоугольных координат к полярным.

Из прямоугольного треугольника ОАМ получаем по теореме Пифагора:

Из того же треугольника имеем:

(4)

Отметим, что полярные координаты, наряду с прямоугольными, широко используется в топографии для определения положения объектов на местности.