Введение

Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и её производные. При этом независимые переменные всегда предполагаются вещественными, а рассматриваемые функции - вещественными и однозначными. Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения. Если независимая переменная только одна, то уравнение называется обыкновенным. В противном случае оно называется уравнением с частными производными. В теории дифференциальных уравнений изучаются также системы дифференциальных уравнений.

Теоретической основой нахождения решений дифференциальных уравнений в виде степенных рядов является теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши.

Ввиду большой важности многих дифференциальных линейных уравнений второго порядка для приложений, в тех случаях, когда их интегрирование при помощи элементарных функций не удаётся, их решения вводятся в качестве новых трансцендентных функций. Таковы, например, функции Бесселя первого и второго рода - два линейно независимых решения уравнения Бесселя. Для определения этих функций часто пользуются представлением решения уравнения в виде степенного ряда по возрастающим степеням , где - начальное значение. В аналитической теории дифференциальных уравнений доказывается, что если коэффициенты уравнения являются многочленами или степенными рядами из целых неотрицательных степеней _, причём не равно нулю, то решения уравнения тоже выражаются сходящимися степенными рядами по целым неотрицательным степеням _. Не доказывая здесь этого общего положения, мы сумеем в каждом отдельном случае доказать сходимость рядов, представляющих решения данного уравнения.

задача коши дифференциальное уравнение