Построение решений дифференциальных уравнений в виде степенных рядов

курсовая работа

3. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов

Пусть дано линейное уравнение второго порядка

(3.1)

И требуется найти его решение, удовлетворяющее начальным условиям

(3.1)

и голоморфное в точке , т.е. представимое в некоторой окрестности точки степенным рядом

(3.3)

Из указанной выше теоремы Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка следует, что искомое решение заведомо существует и единственно, если точка является точкой голоморфности функций p, f и q. Что касается начальных данных и , то их можно брать любыми. Теорема Коши гарантирует также, что ряд (3.3) сходится, по крайней мере, в той же области , в которой сходятся ряды по степеням , представляющие функции p, f и q.

Остается только найти коэффициенты Сk. Это всегда можно сделать, например, методом неопределенных коэффициентов, вычисляя и почленным дифференцированием ряда (3.3) (которое законно, ибо этот ряд сходится в рассматриваемом интервале ) и подставляя у, и в уравнение (3.1), разложив предварительно p, q и f в ряды по степеням . Приравнивая в полученном тождестве коэффициенты при одинаковых степенях , придем к уравнениям относительно , которое всегда (последовательно) разрешимы. Заметим, что исследовать найденное решение (3.3) на сходимость не требуется.

Она уже гарантирована теоремой Коши.

На деле (особенно если Сk не имеет удобной структуры) ограничивается вычислением нескольких коэффициентов Ck, чтобы обеспечить заданную точность приближенного решения задачи Коши (3.1), (3.2), получающегося из (3.3) сохранением только первых членов ряда.

В частности, линеаризация решения задачи Коши (3.1), (3.2)

получающаяся из (3.3) отбрасыванием всех степеней , начиная со второй, доставляется уже начальными условиями (3.2) без использования самого дифференциального уравнения (3.1), которое обеспечивает за счёт голоморфности финкций p, q и f справедливость асимптотического представления точного решения задачи Коши (3.1), (3.2):

Коэффициенты Сk ряда (3.3) можно найти также методом последовательного дифференцирования.

При этом мы исходим из представления голоморфного решения задачи Коши (3.1), (3.2) в виде ряда Тейлора, т.е. переписываем (3.3) в виде

Значение можем найти из уравнения (3.1), подставив в него вместо , у и их начальные значения , и . Затем, дифференцируя (3.1), имеем

Заменяя здесь , у, , числами , , ,, найдем и т.д.

Пример 5. Найти голоморфное решение уравнения

(3.4)

Удовлетворяющее начальным условиям

Так как

То искомое решение существует, единственно и имеет вид

(3.5)

причем ряд справа заведомо сходится при .

Найдем . Перепишем уравнение (3.4) в виде

(3.6)

Разложив коэффициент при у в ряд по степеням . Вычислим и . Имеем

Подставим разложения y и в дифференциальное уравнение (3.6).

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

Из этой системы находим

Искомым решением будет

(3.7)

Линеаризация этого решения имеет вид .

Найдем коэффициенты Сk методом последовательного дифференцирования. Имеем

Значение находим из уравнения (3.4), полагая

Получим

откуда . Дифференцируя (3.4), имеем

Откуда

Далее, имеем

Откуда

Заменяя в (3.5) С2, С3, С4, …. Их значениями, снова получим (3.7)

Делись добром ;)