6. Уравнение Бесселя

В качестве примера приложения построенной теории рассмотрим уравнение Бесселя:

(6.1)

Где

. Особая точка z =0 является регулярной. Других особенностей в конечной части плоскости нет.

В уравнении (6.1) , поэтому определяющее уравнение имеет вид

,

Т.е. и .

I. Пусть 2n - не целое число.

Уравнение (6.1) имеет фундаментальную систему решений

Где - целые функции, причём запишем в виде обобщённого степенного ряда

(6.2)

Дифференцируя (6.2) и подставляя выражения для и в уравнение (6.1), домноженное на , получаем

(6.3)

Сокращаем (6.3) на и приравниваем нулю коэффициент при в левой части (6.3). Имеем:

При , следовательно, c₀ произвольно, (6.4)

При , следовательно, с₁ =0; (6.5)

При следовательно,

(6.6)

Формулы (6.4) - (6.6) позволяют последовательно определить все коэффициенты с_k. При k нечётном с_k=0.

Поскольку в рассматриваемом случае 2n - не целое число, коэффициенты обобщённого степенного ряда

, (6.7)

Также определяются по формулам (6.4) - (6.6), если в них заменить n на - n.

IIa. Пусть 2n - целое нечётное число: 2n=2p+1. коэффициенты ряда (6.2) определяются, как и в случае I, по формулам (6.4) - (6.6). Коэффициенты с_k ряда (6.7) при k<2p+1 определяются по тем же формулам с заменой n на - n. Для определения с_2p+1 получаем уравнение

,

Но так как по доказанному , то можно взять произвольным. Полагая , остальные коэффициенты определяем по старым формулам, причём нечётные коэффициенты по-прежнему равны нулю. Таким образом, когда 2n нечётно, уравнение Бесселя не имеет решений, содержащих логарифм.

IIб. Пусть 2n чётное: n=p. Коэффициенты ряда (6.2) определяются по старому правилу. При определении коэффициента ряда (6.7) встретится затруднение, так как он должен удовлетворять условию

,

не имеющему решений, так как

.

Это означает, что линейно независимого с решения в виде обобщённого степенного ряда не существует. Из общей теории следует, что линейно независимое решение должно содержать логарифм.

При определённом выборе произвольной постоянной с₀ решения уравнения Бесселя, представляемые обобщёнными степенными рядами (6.2) и (6.7), называются функциями Бесселя первого рода. Они линейно независимы при . Если же , то линейно независимое с (6.2) решение, содержащее логарифм, называется при определённом выборе произвольной постоянной функцией Бесселя второго рода.