Заключение

Во всех рассмотренных случаях в первом пункте голоморфные решения задачи Коши представимы рядами Тейлора.

Следует иметь в виду, что всегда представляется весьма перспективным иметь голоморфное решение задачи Коши, которое является источником приближенных решений. Здесь степенной ряд выступает как поисковый аналитический аппарат, представляющий собой решение задачи Коши. Получающиеся при этом степенные ряды, как правило, не суммируются, т.е. их суммы не являются элементарными функциями, так что в этом случае дифференциальные уравнения являются источником новых элементарных функций.

Иногда степенные ряды, представляющие голоморфные решения дифференциальных уравнений, обрываются, обращаясь в полиномы.

Рассмотренный способ интегрирования дифференциальных уравнений распространяется и на системе дифференциальных уравнений с опорой на теорему Коши. Наиболее успешно он применяется к интегрированию однородных линейных систем, для чего, так же как и в случае однородного линейного уравнения, достаточно построить фундаментальную систему решений, голоморфную в некоторой точке голоморфности коэффициентов системы (обычно строят фундаментальную систему решений, нормированную в этой точке).

Список использованных источников

1. В.В. Степанов "Курс Дифференциальных Уравнений" (издание шестое), Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва 1953, стр. 245-250.

2. Н.М. Матвеев "Дифференциальные уравнения", Москва "Просвещение" 1988, Глава 8, стр. 194-215.

3. Н.М. Матвеев "Дифференциальные уравнения" (издание четвёртое, дополненное), Минск, 1976, стр.5.

4. Ю.Н. Бибиков "Курс обыкновенных дифференциальных уравнений", Москва "Высшая школа", 1991, стр. 208-210.