3.1. Треугольники и двуугольники на сфере.

Возьмём на сфере три точки А, В, С, не лежащие в одной плоскости с центром О данной сферы. Совокупность этих точек и дуг АВ, ВС, и АС больших окружностей (меньшие полуокружности) называется сферическим треугольником АВС. Точки А, В, С называются вершинами сферического треугольника, а дуги АВ, ВС и АС - его сторонами. Углы, образуемые сторонами сферического треугольника в его вершинах, называются углами сферического треугольника. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью трёхгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. В самом деле, в пересечении сферы с гранями данного трёхгранного угла мы получим сферический треугольник.

В отличии от плоскости, где треугольник является многоугольником с наименьшим числом сторон, на сфере имеются многоугольники с числом сторон меньше трёх - двуугольники. Двуугольником является часть сферы, ограниченная двумя половинами больших окружностей с общими концами; эти общие концы, называемые вершинами двуугольника, являются диаметрально противоположными точками сферы.

Биссектрисой сферического треугольника называется большая окружность, делящая пополам один из его углов, а также дуга этой большой окружности, имеющая своими концами вершину треугольника и точку пересечения большой окружности с противолежащей стороной. Медианой сферического треугольника называется большая окружность, проходящая через одну из его вершин и через середину противолежащей стороны. Высотой сферического треугольника называется большая окружность, проходящая через одну из его вершин и перпендикулярная к противолежащей стороне, а также одна из двух дуг этой большой окружности, имеющих своими концами данную вершину треугольника и точки пересечения с противолежащей стороной. Если углы сферического треугольника при двух других его вершинах оба острые или оба тупые, то за высоту естественно принять дугу, лежащую внутри треугольника. Если же из двух углов при двух других вершинах один острый, другой тупой, то обе дуги, о которых идёт речь, проходят вне сферического треугольника; в этом случае за высоту естественно принять дугу, меньшую квадранта. Наконец, понятие высоты сферического треугольника, выходящей из данной вершины, теряет смысл, если углы при двух других вершинах оба прямые: в этом случае всякая большая окружность, проходящая через данную вершину, перпендикулярна противолежащей стороне.