1.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) - это дифференциальное уравнение вида , где - неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной , штрих означает дифференцирование по . Число называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение. Задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющего некоторым начальным условиям, называется задачей Коши.

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы решения простейших ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.

Одно из простейших применений дифференциальных уравнений - решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид . Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки.

Дифференциальное уравнение y = y, вместе с начальным условием y(0) = 1, задаёт экспоненту: y(x) = ex. Если x обозначает время, то эта функция описывает рост популяции в условиях неограниченности ресурсов.

Решением дифференциального уравнения y = f(x), правая часть которого не зависит от неизвестной функции, является неопределённый интеграл:

,

где C - произвольная константа.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися (отделяющимися) переменными, если его правая часть представима в виде f(x,y) = f1(x)f2(y). Тогда, в случае , общим решением уравнения является

.

Примеры физических задач, приводящих к уравнениям с разделяющимися переменными

Пусть T - температура тела, T0 - температура окружающей среды (T > T0). Пусть Q - количество теплоты, c - удельная теплоёмкость. Тогда количество теплоты передаваемое окружающей среде до выравнивания температур выражается формулой

Q = mc(T ? T0),

или, в дифференциальной форме,

.

С другой стороны скорость отдачи тепла можно выразить в виде

,

где k - некий коэффициент пропорциональности. Исключая из этих двух уравнений dQ получаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

Общим решением этого уравнения является семейство функций

.