2.1 Метод функций Грина

Основным математическим аппаратом современной физики являются дифференциальные уравнения в частных производных. Среди методов решения таких уравнений центральное место занимает метод функций Грина.

Дифференциальные уравнения в частных производных приходится решать, например, при рассмотрении следующих явлений.

1. Теплопроводность. Уравнение теплопроводности имеет вид

где к - коэффициент теплопроводности, а с - удельная теплоемкость.

2. Квантовая Механика. Движение частицы в квантовой механике описывается волновой функцией ф, которая удовлетворяет уравнению Шредингера

3. Диффузия. Уравнение диффузии имеет вид

где Л - коэффициент диффузии.

Эти уравнения можно представить в форме

где Н - некоторый эрмитов оператор, а

в случае уравнения теплопроводности,

В случае уравнения Шредингера и (3 = Xt в случае уравнения диффузии. Разумеется, в каждом из этих случаев функция ф должна удовлетворять некоторым граничным условиям. Собственные функции оператора Н образуют полную ортонормированную систему и удовлетворяют уравнению

Предположим, что решение уравнения (1) можно представить в форме

Подставляя (3) в (1), получаем

то есть

Это уравнение удовлетворяется только, если множители при всех ют равны нулю, т.е. если

Отсюда

и, следовательно,

Считая ряд равномерно сходящимся, находим

Am (Р) = I (r, (3) ^4 (r) d3r, d3r = dx dy dz,

и, следовательно,

Итак, если задано начальное состояние, то

Эту формулу можно переписать следующим образом

где

Выражение (10) называется функцией Грина для уравнения (1). Для различных уравнений получаются различные функции Грина.

Функции Грина имеют следующие свойства.

1. Если

Таким образом, G(r, r0; (3) представляет собой решение уравнения (1) при начальном условии типа (11).

2. Имеет место соотношение

2.2 Примеры решения неоднородных дифференциальных уравнений с помощью функции Грина

дифференциальный уравнение линейный грин

Функция Грина - используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородная краевая задача).

Функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием (в частности, над евклидовым пространством, в том числе над числовой прямой), определяется для точки x0 как решение уравнения

,

где д - дельта-функция Дирака, а x0 предполагается не входящим больше никуда, кроме разности в аргументе дельта-функции.

Если ядро оператора L нетривиально, тогда функция Грина не единственна. Однако на практике симметрии, граничные условия и дополнительные критерии позволяют выделить единственную функцию Грина. Следует помнить, что вообще говоря функция Грина - не обычная, а обобщённая функция, то есть, иными словами, в некоторых случаях она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или ее производных.

Функцию Грина можно представить как обратный оператор к L. Поэтому ее нередко символически обозначают как L ? 1.

Функции Грина полезны в электростатике - для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред - где они позволяют разрешить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике - где функция Грина гамильтониана является одной из ключевых концепций и имеет отношение к плотности состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку математическая структура уравнения диффузии и уравнения Шрёдингера подобны. Все области матфизики и теорфизики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях, и т. д.

В физике элементарных частиц функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Функция Грина названа в честь английского математика Джорджа Грина (англ. George Green), который первым развил соответствующую теорию в 1830-х гг.

Свёртка с функцией Грина даёт решение неоднородного линейного интегро-дифференциального уравнения.

Пусть - функция Грина линейного оператора , тогда решение неоднородного уравнения даётся интегралом:

- в одномерном случае, или

- в многомерном, где - элемент объема.

Ключевым здесь можно считать разложение по базису из дельта-функций Дирака.

Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид , функция Грина также определяется с учетом этого коэффициента, то есть, по определению тогда она есть решение уравнения

.

В этом случае решение исходного неоднородного уравнения с произвольной функцией в правой части записывается как

.

Ясно, что описанное в этом разделе отличие в определении функции Грина от данного в статье выше, касается не сути дела, а всего лишь предпочитаемой формы записи

Функция Грина оператора Штурма - Лиувилля (одномерный случай)

Пусть - оператор Штурма - Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида

и пусть - оператор краевых условий

Пусть - непрерывная функция на промежутке . Предположим также, что задача регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Теорема Грина

Тогда существует единственное решение , удовлетворяющее системе которое задаётся выражением

,

где - функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям:

непрерывна по и .

Для , .

Для , .

Скачок производной:

.

Симметрична:

.

Нахождение функции Грина

Если множество собственных векторов (собственных функций) дифференциального оператора (то есть набор функций , таких, что для каждой найдется число , что ) полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов и собственных значений .

Под полнотой системы функций подразумевается выполнение соотношения:

.

Можно показать, что

.

Действительно, подействовав оператором на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

(Чертой сверху обозначено комплексное сопряжение, если - вещественные функции, его можно не делать).

Функция Грина для лапласиана

Функция Грина для лапласиана может быть легко получена из теоремы Грина.

Для получения теоремы Грина, начнем с закона Гаусса :

.

Допустим и подставим в закон Гаусса. Вычислим и применим цепное правило для оператора:

.

Подставляя результат в теорему Гаусса, мы получаем теорему Грина:

.

Предполагая, что наш линейный дифференциальный оператор L Лапласиан, , и то, что у нас имеется для него функция Грина G. Определение функции Грина в этом случае запишется в виде:

.

Положим ш = G в теореме Грина. Тогда получим:

.

Используя выражение, мы можем решить уравнение Лапласа () и уравнение Пуасона (() с граничными условиями Неймана или Дирихле. Другими словами, мы можем найти решение всюду внутри заданной области, если (1) значение задано на границе этой области (граничные условия Дирихле), или (2) нормальная производная задана на границе этой области (граничные условия фон Неймана).

Пусть нас интересует решение внутри области. В этом случае интеграл упрощается до в силу основного свойства дельта-функции, и мы имеем:

.

Эта формула выражает известное свойство гармонических функций, состоящее в том, что если известно значение нормальной производной на границе области, то известны и все значения функции в любой внутренней точке этой области.

В электростатике понимается как электростатический потенциал, с(x) как плотность электрического заряда, а нормальная производная как нормальная составляющая электрического поля.

При решении краевой задачи Дирихле функция Грина выбирается в виде . Эта функция обращается в нуль, когда x или находится на границе раздела; и наоборот, решая краевую задачу Ньюмана, следует выбирать функцию Грина так, чтобы на поверхности обращалась в нуль её нормальная производная. Таким образом в интеграле по поверхности остаётся только одно из двух слагаемых.

При отсутствии граничных условий функция Грина для лапласиана имеет вид:

.

Считая граничную поверхность бесконечно большой и подставляя в это выражение функцию Грина, мы придем к аналогичному выражению для электрического потенциала через электрическую плотность заряда.

.

Пример

Дана задача

;

.

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Функция Грина в данном случае по определению должна быть решением уравнения

,

где двумя штрихами обозначена вторая производная по x.

Для , где д-функция равна нулю, это уравнение сводится к однородному (пункт 2 упомянутой теоремы): , то есть для всех точек, кроме s, функция Грина будет решением такого однородного уравнения.

Общее решение такого уравнения

,

где и - константы (не зависят от ).

Таким образом, должно иметь именно такой вид всюду, кроме точки , причем слева и справа от нее коэффициенты и могут (и будут) иметь разное значение.

Наложим на функцию Грина граничные условия, совпадающие с граничными условиями исходной задачи (пункт 3 упомянутой во вводном замечании теоремы). Функция Грина с наложенными так граничными условиями удобна тем, что конструируемые суммированием или интегрированием таких функций Грина решения автоматически будут удовлетворять этим граничным условиям.

Из левого граничного условия: - налагаемого на функцию Грина мы видим, что для коэффициент общего решения должен быть нулем, то есть для

.

Точно так же из правого граничного условия: - получаем равенство нулю коэффициента , то есть для

.

В итоге, учитывая, что коэффициенты a и b вообще говоря могут зависеть от s, можем записать:

Второй шаг:

Нужно определить и .

Проинтегрировав дважды левую и правую часть уравнения с дельта-функцией в правой части, мы увидим, что функция Грина должна быть непрерывна (пункт 1 упомянутой теоремы), а отсюда условие сшивки решения x < s и x > s:

.

Проинтегрировав же левую и правую часть того же уравнения получим условие на скачок первой производной (пункт 4 теоремы), и используя его, получим:

.

Используя правило Крамера или просто угадывая решение системы из двух этих уравнений, получим, что .

Эти выражения удовлетворяют условию пункта 5 теоремы.

Тогда функция Грина задачи:

Другие примеры

Пусть дано множество и оператор L равен d / dx. Тогда функция Хевисайда H(x ? x0) является функцией Грина для L при x0.

Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости и L - оператор Лапласа. Также предположим, что при x = 0 наложены краевые условия Дирихле, при y = 0 - краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид