Дифференциальные уравнения второго порядка

1) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами p и q называется уравнение вида

(8)

Алгебраическое уравнение k² + pk + q = 0 называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения, а его корни – характеристическими числами (корнями).

Для нахождения общего решения уравнения (8):

1. Запишем соответствующее характеристическое уравнение

k² + pk + q = 0.

2. В соответствии со знаком дискриминанта возможны три случая:

а) D > 0. Тогда характеристическое уравнение имеет два действительных корня k₁  k₂, и общее решение уравнения (8) имеет вид

(9)

б) D = 0. Тогда k = k₁ = k₂ – действительный корень и общее решение уравнения (8) имеет вид

(10)

в) D < 0. Тогда корни k₁, k₂ – комплексно-сопряженные числа, т. е. k_{1, 2} =   i, где ,  – действительные числа, и общее решение уравнения (8) имеет вид

(11)

Отметим, что во всех перечисленных случаях С₁, С₂ – произвольные постоянные.

Пример 9. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1)

2)

3)

Решение

1. Запишем характеристическое уравнение k² + k – 2 = 0.

Найдем его корни

; k₁ = –2; k₂ = 1.

Так как k₁ ¹ k₂ – действительные числа, то общее решение находим по формуле (9)

2. Запишем характеристическое уравнение k² + 2k + 1 = 0.

Найдем его корни

k₁ = k₂ = –1.

В этом случае общее решение находим по формуле (10)

3. Запишем характеристическое уравнение k² + 4k + 5 = 0.

Найдем его корни

Здесь

Общее решение находим по формуле (11)

Тест 19. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 20. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 21. При решении однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами = 0:

1) вводится подстановка вида y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;

2) вводится подстановка вида y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) составляется характеристическое уравнение k² + pk + q = 0.

Тест 22. Характеристическое уравнение k² + pk + q = 0 имеет два различных действительных корня k₁ и k₂. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1) 

2)  y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) 

4) 

5)  y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 23. Характеристическое уравнение k² + pk + q = 0 имеет комплексные корни Тогда общее решение однородного диф- ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2)  y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5)  y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 24. Характеристическое уравнение k² + pk + q = 0 имеет равные корни k₁ = k₂. Тогда общее решение однородного дифферен- циального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1) 

2)  y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) 

4) 

5)  y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 25. Характеристическое уравнение k² + pk + q = 0 имеет комплексные корни Тогда общее решение однородного диф- ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2)  y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5)  y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 26. Характеристическое уравнение k² + pk + q = 0 имеет D = 0. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2)  y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5)  y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 27. Характеристическое уравнение k² + pk + q = 0 имеет D < 0. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2)  y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5)  y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 28. Общее решение дифференциального уравнения у + 2у + у = 0 находим по формуле:

1)

2)  y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5)  y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 29. Общее решение дифференциального уравнения y + 4y + 5y = 0 находим по формуле:

1)

2)  y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5)  y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 30. Общим решением дифференциального уравнения может являться функция:

1)

2)

3)

4)

5)