Дифференциальные уравнения второго порядка
1) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами p и q называется уравнение вида
(8)
Алгебраическое уравнение k2 + pk + q = 0 называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения, а его корни – характеристическими числами (корнями).
Для нахождения общего решения уравнения (8):
1. Запишем соответствующее характеристическое уравнение
k2 + pk + q = 0.
2. В соответствии со знаком дискриминанта возможны три случая:
а) D > 0. Тогда характеристическое уравнение имеет два действительных корня k1 k2, и общее решение уравнения (8) имеет вид
(9)
б) D = 0. Тогда k = k1 = k2 – действительный корень и общее решение уравнения (8) имеет вид
(10)
в) D < 0. Тогда корни k1, k2 – комплексно-сопряженные числа, т. е. k1, 2 = i, где , – действительные числа, и общее решение уравнения (8) имеет вид
(11)
Отметим, что во всех перечисленных случаях С1, С2 – произвольные постоянные.
Пример 9. Найти общее решение дифференциальных уравнений:
1)
2)
3)
Решение
1. Запишем характеристическое уравнение k2 + k – 2 = 0.
Найдем его корни
; k1 = –2; k2 = 1.
Так как k1 ¹ k2 – действительные числа, то общее решение находим по формуле (9)
2. Запишем характеристическое уравнение k2 + 2k + 1 = 0.
Найдем его корни
k1 = k2 = –1.
В этом случае общее решение находим по формуле (10)
3. Запишем характеристическое уравнение k2 + 4k + 5 = 0.
Найдем его корни
Здесь
Общее решение находим по формуле (11)
Тест 19. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 20. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 21. При решении однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами = 0:
1) вводится подстановка вида y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
2) вводится подстановка вида y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3) составляется характеристическое уравнение k2 + pk + q = 0.
Тест 22. Характеристическое уравнение k2 + pk + q = 0 имеет два различных действительных корня k1 и k2. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
1)
2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3)
4)
5) y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.
Тест 23. Характеристическое уравнение k2 + pk + q = 0 имеет комплексные корни Тогда общее решение однородного диф- ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
1)
2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3)
4)
5) y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.
Тест 24. Характеристическое уравнение k2 + pk + q = 0 имеет равные корни k1 = k2. Тогда общее решение однородного дифферен- циального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
1)
2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3)
4)
5) y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.
Тест 25. Характеристическое уравнение k2 + pk + q = 0 имеет комплексные корни Тогда общее решение однородного диф- ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
1)
2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3)
4)
5) y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.
Тест 26. Характеристическое уравнение k2 + pk + q = 0 имеет D = 0. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
1)
2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3)
4)
5) y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.
Тест 27. Характеристическое уравнение k2 + pk + q = 0 имеет D < 0. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
1)
2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3)
4)
5) y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.
Тест 28. Общее решение дифференциального уравнения у + 2у + у = 0 находим по формуле:
1)
2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3)
4)
5) y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.
Тест 29. Общее решение дифференциального уравнения y + 4y + 5y = 0 находим по формуле:
1)
2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3)
4)
5) y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции.
Тест 30. Общим решением дифференциального уравнения может являться функция:
1)
2)
3)
4)
5)
- Несобственные интегралы I и II рода
- 1) Расходится;
- Приближенные методы вычисления определенных интегралов
- Ответы на тестовые задания
- 2.10. Кратные интегралы
- Частные случаи интегралов по фигуре (кратных интегралов) Определенный интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Вычисление двойного интеграла
- Приложения двойных интегралов
- Ответы на тестовые задания
- 2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
- Решение
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Ответы на тестовые задания
- Дифференциальные уравнения второго порядка
- Ответы на тестовые задания
- Ответы на тестовые задания
- 2.12. Ряды Числовые ряды
- Необходимый признак сходимости ряда
- Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- Ответы на тестовые задания
- Степенные ряды
- Понятие степенного ряда
- 2) Расходится;
- Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
- Ответы на тестовые задания
- Список рекомендуемой литературы
- Содержание
- Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 8
- Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения 91
- 246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- 2 46029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.