1.2 Классификация уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяются на параболические, эллиптические и гиперболические.

Линейное уравнение второго порядка, зависящее от двух независимых переменных имеет вид:

где A, B, C - коэффициенты, зависящие от переменных x и y, а многоточие означает члены, зависящие от x, y, u и частных производных первого порядка: и . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения:

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от знака дискриминанта D = B2 ? AC, классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

- Гиперболическое уравнение,

- Эллиптическое уравнение,

- Параболическое уравнение (здесь предполагается, что в данной точке коэффициенты A, B, C не обращаются в нуль одновременно).

В случае, когда все коэффициенты A, B, C - постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y. В случае, если коэффициенты A, B, C непрерывно зависят от x и y, множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых - эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения.

Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара-Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши-Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение. Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви (1957)). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n) для уравнения Лапласа:

с начальными условиями:

где n - целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n, однако решением уравнения является

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно р для любого ненулевого значения y. задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной, так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Почти-решение дифференциального уравнения с частными производными - понятие, введенное В. М. Миклюковым в связи с исследованиями решений с неустранимыми особенностями.

Примеры

Одномерное уравнение теплопроводности

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне имеет вид

где u(t,x) - температура, и б - положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом:

,

где f(x) - произвольная функция.

Уравнение колебания струны

Здесь u(t,x) - смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c - скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:

Двумерное уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа для неизвестной функции двух переменных имеет вид:

Его решения называются гармоническими функциями.

Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции f комплексной переменной z = x + iy являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f=u+iv, то условия Коши-Римана утверждают следующее:

Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:

Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.

Граничные задачи

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u, которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S, а на границе области - некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие краевые задачи:

- задача Дирихле

- задача Неймана

Решение уравнений математической физики

Существует два вида методов решения данного типа уравнений:

аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;

численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и, поэтому, выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

Аналитическое решение

Рассмотрим задачу о колебаниях струны длины L. Будем считать, что на концах струны функция u(x,t) обращается в ноль:

В начальный момент времени зададим начальные условия:

Представим решение в виде:

После подстановки в исходное уравнение колебаний, разделим на произведение X(x)T(t) получаем:

Правая часть этого уравнения зависит от t, левая - от x, следовательно это уравнение может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны постоянной величине, которую обозначим через ? л2:

Отсюда находим уравнение для X(x):

Нетривиальные решение этого уравнения при однородных краевых условиях возможны только при и имеют вид:

Рассмотрим уравнение для отыскания T(t):

Его решение:

Следовательно, каждая функция вида

является решением волнового уравнения.

Чтобы удовлетворить решение начальным условиям, составим ряд:

Подстановка в начальные условия даёт:

Последние формулы представляют собой разложение функций f(x) и g(x) в ряд Фурье на отрезке [0,L]. Коэффициенты разложений вычисляются по формулам:

Уравнение колебаний струны

Данный способ решения называется методом конечных дифференциалов. Он достаточно просто реализуем при помощи программирования.

Этот метод основан на определении производной функции y = y(x):

Если имеется функция u = u(x,t), то частичная производная будет следующая:

Так как Дx мы используем достаточно маленький, знаки пределов можно отбросить. Тогда получим следующие выражения:

Для удобства в дальнейшем примем следующие обозначения:

Дx = h, Дt = ф

Тогда предыдущие выражения можно записать так:

,

Эти выражения называют правыми дифференциалами. Их можно записать и по-другому:

, - это левые дифференциалы.

Просуммировав оба выражения получим следующее:

из которых следует:

Аналогично можно получить и дифференциалы второго порядка:

Уравнение колебаний струны записывается в такой форме:

.

Дополнительные условия задаются в виде:

u | x = 0 = f1(t), u | x = l = f2(t), u | t = 0 = g1(x), ut | t = 0 = g2(x),

где f1(t) и f2(t) - позиции концов (креплений) струны во времени,

а g1(x) и g2(x) - начальное состояние и скорость струны из которой мы можем получить состояние струны в следующий момент времени по формуле

Сетка значений функции

.

В вычислениях используют дискретизацию струны (разделяют её на одинаковые интервалы, длина которых h (см.рис).

Значения функции остальным x и t можно вычислить из уравнения колебаний струны:

Таким образом, мы получили схему, по которой можно получить значения функции для любых x и t, используя значения функции при предыдущих x и t. Схематично это можно представить так:

Этот метод даёт приближённый ответ, степень точности И(ф2 + h2). Для достаточно точных результатов необходимо использовать интервалы

h < 0.1 и .