Рішення лінійних рівнянь першого порядку
6. Побудова загального рішення матричним методом
Матричний метод рішення системи рівнянь (1) заснований на безпосереднім відшуканні фундаментальної матриці цієї системи.
Експонентою eA матриці А називається сума ряду
де Е - одинична матриця.
Властивість матричної експоненти: а) якщо АВ=ВА, те еА+В=еА*еВ= еВ *еА; б) якщо А=S-1*B*S, те еА=S-1*eB*S, де матриця S - це матриця перетворення змінних із власного базису в базис вихідних змінних. в) матриця y (t) =eAt є рішенням матричної задачі Коші: т.е. є фундаментальною матрицею системи (1).
Із властивості в) треба, що рішення y (t) системи (1) задовольняючій умові y (0) =y0, визначається вираженням y (t) =eAt*y0. Таким чином, задача знаходження рішень системи рівнянь (1) еквівалентна задачі відшукання матриці eAt по матриці А.
Для обчислення матриці eAt зручно представити матрицю А в виді:
,
де матриця S - це матриця перетворення змінних із власного базису в базис вихідних змінних, а BА - жорданова форма матриці А, тому що eAt = S-1*eBt*S.
Жорданова форма матриці залежить від виду характеристичних чисел.
1. Нехай характеристичні числа дійсні кратні, тоді Жорданова форма матриці розмірності nxn має вигляд:
де - дійсний корінь кратності n.
2. Якщо серед корінь характеристичного полінома є, як дійсні різні, так і дійсних кратних корінь, то матриця В має вигляд:
де - дійсних різних корінь, а - дійсний корінь кратності 2.
3. При наявності серед корінь характеристичного полінома корінь комплексно-комплексно-сполучених Жорданова клітка виглядає в такий спосіб:
де а комплексно сполучений корінь характеристичного полінома.
Тому що в нашім випадку серед характеристичних чисел присутні, як комплексно-комплексно-сполучені корінь л = 2 - ?? л = 2 +?, так і дійсний різних корінь л = - 1? л = 1, те жорданова матриця виглядає в такий спосіб:
З рівняння A*S = S*В, де S - матриця, одержуємо систему 16-го порядку, з якої знаходимо елементи матриці S. Отримана матриця S буде виглядати в такий спосіб:
Вирішуємо систему 16-го порядку з рівняння A*S = S*В
Знаходимо деякі елементи й одержуємо наступну матрицю S:
Зробимо перевірку A*S - S*В=0:
Значить матриця переходу знайдена вірно.
Для знаходження вектора рішень y необхідно помножити матрицю S на , де - це вектор, елементи якого залежать від корінь характеристичного багаточлена:
Для комплексних чисел має такий вигляд:
Для випадку корінь дійсних різних:
У нашім випадку виходить рівної:
=
Звідси знайдемо загальне рішення в=S*, одержимо:
При підстановці рішення у вихідну систему виходить вірна рівність, із цього треба, що рішення знайдене вірно: