Физические приложения определенного интеграла: статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур, нахождение координат центра тяжести, теоремы Гульдена, вычисление работы и давления

 Путь S, пройденный телом при прямолинейном движении со скоростью v(t) за интервал времени от t1 до t2, вычисляется по формуле

Вычисление работы с помощью определённого интеграла.

Пусть под действием некоторой силы  материальная точка М движется по прямой в направлении оси OX. Требуется найти работу, произведённую силой  при перемещении точки М из положения  в положение .

1)     Если сила постоянна , то работа выражается следующим образом .

2)     Если сила переменная величина, то .

Теоремы Гульдена Выведем теоремы, связывающие площадь поверхности (соответственно, объем тела) вращения с центром тяжести вращающейся дуги (соответственно, криволинейной трапеции).

Пусть поверхность  образована вращением дуги , имеющей длину . Мы знаем, что ордината центра тяжести этой дуги выражается формулой

Так как площадь поверхности вращения выражается интегралом

то из этого равенства следует, что .

Мы доказали следующее утверждение, называемое первой теоремой Гульдина–Паппа.

Площадь поверхности, полученной от вращения кривой вокруг непересекающей ее оси, равна произведению длины  дуги этой кривой на длину окружности, описанной центром тяжести  этой кривой.

Аналогично, из формулы, выражающей ординату центра тяжести криволинейной трапеции

 и формулы объема тела вращения 

получаем , т. е. следующее утверждение, называемое второй теоремой Гульдина–Паппа:

Объем тела, полученного от вращения плоской фигуры вокруг непересекающей ее оси, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести этой фигуры.

Пользуясь этими двумя теоремами, можно в ряде случаев упростить процесс вычисления поверхности или объема тела вращения.