§. Теоремы Гульдина.

Т. (Первая теорема Гульдина). Площадь поверхности, которую описывает кусочно-гладкая плоская кривая, вращаясь вокруг оси лежащей в той же плоскости (причем кривая не пересекает ось вращения) равна длине кривой умноженной на длину окружности, которую описывает геометрический центр масс кривой.



Т. (Вторая теорема Гульдина). Объём тела, описанного плоской фигурой с кусочно-гладкой границей при вращении вокруг оси, которая лежит в одной плоскости с фигурой, по одну сторону от неё равен площади фигуры умноженной на длину окружности, которую описывает геометрический центр масс фигуры.

 (рис. б). Масса численно совпадает с площадью – , статический момент относительно оси ординат равен. Здесь– ордината геометрического центра масс элементарной полоски, которая имеет ширинуи площадь. Тогда ордината центра масс равна. Поскольку ординаты всех точек фигуры положительны и положительны соответствующие моменты, получаем:

. ▲

Пример применения теорем Гульдина:

Рассмотрим тор, т.е. тело, полученное вращением круга вокруг прямой, лежащей в той же плоскости, что и круг. Причем прямая не имеет с кругом общих точек и находится на расстоянии а от центра круга радиуса ,. Тогда применяя первую и вторую теоремы Гульдина, получаем:и.

Можно рассмотреть объём и площадь поверхности обобщенного тора, т.е. тела полученного вращением не окружности а, например, ромба или квадрата или каких либо других фигур.