Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему вида

где определена и непрерывна на , где --- некоторый промежуток прямой, а --- область -мерного пространства .

Определение. Будем говорить, что вектор-функция удовлетворяет на множестве локальному условию Липшица по , если для каждой точки найдется такая окрестность и постоянная Липшица , что для любой из двух точек и из этой окрестности выполняется неравенство

.

Введем обозначения.

Рассмотрим отношение

.

Рассмотрим верхний (нижний) предел последнего отношения

Этот предел будем называть производной функции в силу системы .

Теорема

Пусть функция определена, непрерывна и локально липшицева относительно на произведении .

Тогда для продолжимости всех решений системы на промежутке необходимо и достаточно, чтобы на множестве существовали две функции Ляпунова и , обладающие свойствами:

1) ;

2) при равномерно относительно на каждом конечном сегменте, .

Замечание. Вместо условия 1) в теореме может быть взято условие .

Следствие. Если и непрерывны во всем пространстве, то для продолжимости каждого решения системы на необходимо и достаточно, чтобы в пространстве существовали две непрерывно дифференцируемые функции Ляпунова и , обладающие свойствами:

1) ;

2) при равномерно относительно на каждом конечном сегменте, .