Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему вида
где определена и непрерывна на , где --- некоторый промежуток прямой, а --- область -мерного пространства .
Определение. Будем говорить, что вектор-функция удовлетворяет на множестве локальному условию Липшица по , если для каждой точки найдется такая окрестность и постоянная Липшица , что для любой из двух точек и из этой окрестности выполняется неравенство
.
Введем обозначения.
Рассмотрим отношение
.
Рассмотрим верхний (нижний) предел последнего отношения
Этот предел будем называть производной функции в силу системы .
Теорема
Пусть функция определена, непрерывна и локально липшицева относительно на произведении .
Тогда для продолжимости всех решений системы на промежутке необходимо и достаточно, чтобы на множестве существовали две функции Ляпунова и , обладающие свойствами:
1) ;
2) при равномерно относительно на каждом конечном сегменте, .
Замечание. Вместо условия 1) в теореме может быть взято условие .
Следствие. Если и непрерывны во всем пространстве, то для продолжимости каждого решения системы на необходимо и достаточно, чтобы в пространстве существовали две непрерывно дифференцируемые функции Ляпунова и , обладающие свойствами:
1) ;
2) при равномерно относительно на каждом конечном сегменте, .
- Введение
- Устойчивость решений дифференциальных систем и функции Ляпунова
- Устойчивость по Ляпунову
- Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова
- Методы построения функций Ляпунова
- Понятие продолжимости решения. Признак Винтера-Еругина
- Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем
- Развитие метода функций Ляпунова
- Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений
- Продолжимость всех решений некоторых уравнений третьего порядка
- Заключение
- §1.Понятие об устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости.
- 21. Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости
- 13.3. Устойчивость по Ляпунову
- Исследование устойчивости вторым методом ляпунова
- Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.
- Устойчивость по Ляпунову. Функции Ляпунова. Устойчивость по первому приближению.
- Устойчивость по Ляпунову
- 2.4.2. Устойчивость по Ляпунову
- 38. Определение устойчивости, устойчивость по Ляпунову
- 7.1 Устойчивость по Ляпунову